Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
5. Условия задач олимпиад по математике и криптографииНиже приводятся задачи семи олимпиад по криптографии и математике. Нумерация задач двойная: первая цифра — номер олимпиады, вторая — номер задачи в олимпиаде. Для решения задач не требуется специальных знаний. Все необходимые определения даны в условиях. Задачи рассчитаны на учащихся 9, 10 и 11 классов. 1.1. Ключом шифра, называемого «поворотная решетка», является трафарет, изготовленный из квадратного листа клетчатой бумаги размера сторон трафарета помечена. При наложении этого трафарета на чистый лист бумаги четырьмя возможными способами (помеченной стороной вверх, вправо, вниз, влево) его вырезы полностью покрывают всю площадь квадрата, причем каждая клетка оказывается под вырезом ровно один раз. Буквы сообщения, имеющего длину Найдите число различных ключей для произвольного четного числа 1.2. В адрес олимпиады пришло зашифрованное сообщение:
Найдите исходное сообщение, если известно, что шифрпреобразование заключалось в следующем. Пусть 1.3. Для передачи информации от резидента Гарриваса в Нагонии только что внедренному разведчику был установлен следующий порядок. Все сообщения резидента определены заранее и пронумерованы числами Для передачи числа в условленном месте оставлялась равная этому числу денежная сумма. На момент разработки операции в Нагонии имели хождение денежные купюры достоинством Выясните, начиная с какого номера можно передать разведчику любое сообщение, пользуясь только оставшимися в обращении купюрами. 1.4. Сколько существует упорядоченных пар натуральных чисел а и 6, для которых известны их наибольший общий делитель случае, используя канонические разложения 1.5. Дана криптограмма:
Восстановите цифровые значения букв, при которых справедливы все указанные равенства, если разным буквам соответствуют различные цифры. Расставьте буквы в порядке возрастания их цифровых значений и получите искомый текст. 1.6. Одна фирма предложила устройство для автоматической проверки пароля. Паролем может быть любой непустой упорядоченный набор букв в алфавите
3) набор Устройство признает предъявленный пароль верным, если 2.1. В древнем шифре, известном под названием «Сцитала», использовалась полоска папируса, которая наматывалась на круглый стержень виток к витку без просветов и нахлестов. Далее, при горизонтальном положении стержня, на папирус построчно записывался текст сообщения. После этого полоска папируса с записанным на ней текстом посылалась адресату, имеющему точно такой же стержень, что позволяло ему прочитать сообщение. В наш адрес поступило сообщение, зашифрованное с помощью шифра «Сцитала». Однако ее автор, заботясь о том, чтобы строчки были ровные, во время письма проводил горизонтальные линии, которые остались на полоске в виде черточек между буквами. Угол наклона этих черточек к краю ленты равен а, ширина полоски равна 2.2. Исходное цифровое сообщение коммерсант шифрует и передает. Для этого он делит последовательность цифр исходного сообщения на группы по пять цифр в каждой и после двух последовательных групп приписывает еще две последние цифры суммы чисел, изображенных этими двумя группами. Затем к каждой цифре полученной последовательности он прибавляет соответствующий по номеру член некоторой целочисленной арифметической прогрессии, заменяя результат сложения остатком от деления его на 10. Найдите исходное цифровое сообщение по шифрованному сообщению:
2.3. Рассмотрим преобразование цифрового текста, в котором каждая цифра заменяется остатком от деления значения многочлена Выясните, при каких значениях 2.4. При установке кодового замка каждой из 26 латинских букв, расположенных на его клавиатуре, сопоставляется произвольное натуральное число, известное лишь обладателю замка. Разным буквам сопоставляются не обязательно разные числа. После набора произвольной комбинации попарно различных букв происходит суммирование числовых значений, соответствующих набранным буквам. Замок открывается, если сумма делится на 26. Докажите, что для любых числовых значений букв существует комбинация, открывающая замок. 2.5. Сообщение, записанное в алфавите
зашифровывается при помощи последовательности букв этого же алфавита. Длина последовательности равна длине сообщения. Шифрование каждой буквы исходного сообщения состоит в сложении ее порядкового номера в алфавите с порядковым номером соответствующей буквы шифрующей последовательности и замене такой суммы на букву алфавита, порядковый номер которой имеет тот же остаток от деления на 30, что и эта сумма. Восстановите два исходных сообщения, каждое из которых содержит слово КОРАБЛИ, если результат их зашифрования при помощи одной и той же шифрующей последовательности известен:
2.6. Буквы русского алфавита занумерованы в соответствии с таблицей: (см. скан) Для зашифрования сообщения, состоящего из Прочтите шифрованное сообщение: 3.1. Установите, можно ли создать проводную телефонную сеть связи, состоящую из 993 абонентов, каждый из которых был бы связан ровно с 99 другими. 3.2. Шифрпреобразование простой замены в алфавите (см. скан) то получится слово 3.3. Сообщение, зашифрованное в пункте А шифром простой замены в алфавите из букв русского языка и знака пробела (см. скан) восстановите исходное сообщение, зная, что в одном из переданных отрезков зашифровано слово КРИПТОГРАФИЯ. 3.4. Дана последовательность чисел 3.5. Исходное сообщение, состоящее из букв русского алфавита и знака пробела (см. скан) Для зашифрования полученного цифрового сообщения используется отрезок последовательности из задачи 3.4, начинающийся с некоторого члена
3.6. Равносторонний треугольник
Рис. 6. 4.1. Ключом шифра, называемого «решеткой», является прямоугольный трафарет размера так, что при наложении его на прямоугольный лист бумаги размера Буквы сообщения (без пропусков) последовательно вписываются в вырезы трафарета (по строкам, в каждой строке слева направо) при каждом из четырех его возможных положений. Прочтите исходный текст, если после зашифрования на листе бумаги оказался следующий текст (на русском языке): (см. скан) 4.2. Криптограмма
получена заменой букв на числа (от 1 до 32) так, что разным буквам соответствуют разные числа. Отдельные слова разделены несколькими пробелами, буквы — одним пробелом, знаки препинания сохранены. Буквы 4.3. «Шифровальный диск» используется для зашифрования числовых сообщений. Он состоит из неподвижного диска и соосно вращающегося на нем диска меньшего диаметра. На обоих дисках нанесены цифры от 0 до 9, которые расположены в вершинах правильных Цифра X на неподвижном диске зашифровывается в цифру Для построения вписанного 4.4. Зашифрование фразы на латинском языке осуществлено в два этапа. На первом этапе каждая буква текста заменяется на следующую в алфавитном порядке (последняя разными буквами. Ключом такого шифра является таблица, в которой указано, какой буквой надо заменить каждую букву алфавита. По данному шифртексту
восстановите открытое сообщение, если известно, что для использованного (неизвестного) ключа результат шифрования не зависит от порядка выполнения указанных этапов для любого открытого сообщения. Пробелы в тексте разделяют слова. Латинский алфавит состоит из следующих 24 букв:
4.5. Для проверки телетайпа, печатающего буквами русского алфавита
передан набор из 9 слов, содержащий все 33 буквы алфавита. В результате неисправности телетайпа на приемном конце получены слова
Восстановите исходный текст, если известно, что характер неисправности таков, что каждая буква заменяется буквой, отстоящей от нее в указанном алфавите не дальше, чем на две буквы. Например, буква 4.6. Исходное сообщение из букв русского алфавита преобразуется в числовое сообщение заменой каждой его буквы числом по следующей таблице: (см. скан) Для зашифрования полученного числового сообщения используется шифрующий отрезок последовательности При зашифровании каждое число числового сообщения складывается с соответствующим числом шифрующего отрезка. Затем вычисляется остаток от деления полученной суммы на 30, который по данной таблице заменяется буквой. Восстановите сообщение 4.7. Чтобы запомнить периодически меняющийся пароль в
(Число меньшей значности дополняется справа необходимым числом нулей.) Решите такое уравнение при произвольном 5.1. Комбинация
5.2. Сообщение было построчно записано в таблицу, имеющую 20 столбцов. При этол в каждую клетку таблицы записывалось по одной букве сообщения, пробелы между словами были опущены, а знаки препинания заменены на условные комбинации: точка — (см. скан) Прочтите исходное сообщение. 5.3. Из точки О внутри треугольника 5.4. Зашифрование сообщения состоит в замене букв исходного текста на пары цифр в соответствии с некоторой (известной только отправителю и получателю) таблицей, в которой разным буквам алфавита соответствуют разные пары цифр. Криптографу дали задание восстановить зашифрованный текст. В каком случае ему будет легче выполнить задание: если известно, что первое слово второй строки — «термометр» или что первое слово третьей строки — «ремонт»? Обоснуйте свой ответ. (Предполагается, что таблица зашифрования криптографу неизвестна). 5.5. Решите уравнение:
5.6. При передаче сообщений используется некоторый шифр. Пусть известно, что каждому из трех шифрованных текстов
соответствовало исходное сообщение МОСКВА. Попробуйте расшифровать три текста
при условии, что двум из них соответствует одно и то же сообщение. Сообщениями являются известные крылатые фразы. 6.1. В системе связи, состоящей из 1997 абонентов, каждый абонент связан ровно с N другими. Определите все возможные значения 6.2. Квадратная таблица размером 6.3. Текст
получен из исходного сообщения перестановкой его букв. Текст
получен из того же исходного сообщения заменой каждой буквы на другую букву так, что разные буквы заменены разными, а одинаковые — одинаковыми. Восстановите исходное сообщение. 6.4. На каждой из трех осей установлено по одной вращающейся шестеренке и неподвижной стрелке. Шестеренки соединены последовательно. На первой шестеренке 33 зубца, на второй — 10, на третьей — 7. На каждом зубце первой шестеренки по часовой стрелке написано по одной букве русского языка в алфавитном порядке:
На зубцах второй и третьей шестеренки в порядке возрастания по часовой стрелке написаны цифры от 0 до 9 и от 0 до 6 соответственно. Когда стрелка первой оси указывает на букву, стрелки двух других осей указывают на цифры. Буквы сообщения шифруются последовательно. Зашифрование производится вращением первой шестеренки против часовой стрелки до первого попадания шифруемой буквы под стрелку. В этот момент последовательно выписываются цифры, на которые указывают вторая и третья стрелки. В начале шифрования стрелка а) зашифруйте слово б) расшифруйте сообщение 24809283911211. 6.5. Цифры от 1 до 9 расположены на окружности в некотором неизвестном порядке. При зашифровании цифрового сообщения каждая отличная от 0 цифра заменяется на соседнюю с ней цифру на окружности по часовой стрелке, а при расшифровании — на соседнюю с ней цифру на окружности против часовой стрелки. Цифра 0 остается без изменения в обоих случаях. Укажите условия, при которых порядок цифр на данной окружности можно однозначно восстановить по двум цифровым текстам — результатам расшифрования и зашифрования одного и того же цифрового текста с помощью данной окружности. 6.6. Докажите, что для каждого простого числар последовательность 6.7. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
имеет ровно 1997 различных решений. 7.1. Какое наименьшее число соединений требуется для организации проводной сети связи из 10 узлов, чтобы при выходе из строя любых двух узлов связи сохранялась возможность передачи информации между любыми двумя оставшимися (хотя бы по цепочке через другие 7.2. В компьютерной сети используются пароли, состоящие из цифр. Чтобы избежать хищения паролей, их хранят на диске в зашифрованном виде. При необходимости использования происходит однозначное расшифрование соответствующего пароля. Зашифрование пароля происходит посимвольно одним и тем же преобразованием. Первая цифра остается без изменения, а результат зашифрования каждой следующей цифры зависит только от нее и от предыдущей цифры. Известен список зашифрованных паролей:
имеющиеся в зашифрованном виде в этом списке. Можно ли определить какие-либо другие пароли? Если да, то восстановите их. 7.3. В результате перестановки букв сообщения получена криптограмма: БТИПЧЬЛОЯЧЫЬТОТПУНТНОНЗЛЖАЧОЬОТУНИУХНИППОЛОЬЧОЕЛОЛС Прочтите исходное сообщение, если известно, что оно было разбито на отрезки одинаковой длины, 7.4. Знаменитый математик Леонард Эйлер в 1759 г. нашел замкнутый маршрут обхода всех клеток шахматной доски ходом коня ровно по одному разу. Прочтите текст, вписанный в клетки шахматной доски по такому маршруту (см. рис. 7). Начало текста в
Рис. 7. 7.5. При
7.6. Для рисования на большой прямоугольной доске используется мел с квадратным сечением со стороной 1 см. При движении мела стороны сечения всегда параллельны краям доски. Как начертить выпуклый многоугольник площадью 7.7. Цифры
Оказалось, что каждой букве соответствует число и каждому числу соответствует некоторая буква. Шифрование сообщения осуществляется заменой каждой буквы соответствующим ей числом. Если ненулевое число начинается с нуля, то при шифровании этот нуль не выписывается. Восстановите сообщение 873146507381 и укажите таблицу замены букв числами.
|
1 |
Оглавление
|