3. Фильтрация

В радиосвязи задача оптимальной фильтрации состоит в наилучшем выделении передаваемого сообщения из принимаемой смеси сигнала с шумом. В радиолокации и радионавигации такому выделению подлежат процессы, характеризующие изменение во времени координат цели относительно РЛС или снабженного радионавигационной аппаратурой подвижного объекта относительно некоторых ориентиров. Применительно к автоматическим измерительным устройствам подобные процессы часто называют входными или полезными воздействиями. Объединяют такие понятия, как сообщение и полезное воздействие, то, что они могут рассматриваться в качестве отдельных реализаций некоторого случайного процесса.

Существуют различные модели задания случайного процесса. В радиосвязи, например, речевое сообщение отождествляется с выборочной функцией гауссова процесса. Хотя это и не Еплоне правомерно, но эксперименты

показывают, что если при проектировании исходят из допущения о нормальности фильтруемого процесса, то полученная система работает вполне удовлетворительно и при некоторых отклонениях входного процесса от гауссова [26].

В качестве статистической модели движения радиолокационной цели также часто используются выборки некоторого стационарого случайного процесса [149]. Наряду с этим рассматривается и полиноминальная модель [93], когда измеряемая координата представляется в виде полинома

Для каждой проводки цели коэффициенты полинома остаются постоянными. Но они меняются по случайному за кону при переходе от одной проводки к другой. Статистические характеристики коэффициентов считаются известными. Аналогичными способами задаются законы изменения координат и при радионавигационных измерениях.

Сообщением (измеряемым процессом) модулируется несущее колебание, поэтому принимаемый сигнал представляет собой детерминированную функцию времени и случайного процесса Прием сигнала сопровождается действием шумов (возмущений Задача фильтрации состоит в выделении из принимаемой смеси

полезного сообщения

Схема выделения строится на основе статистических свойств процесса и шумов вида кодирования сообщением несущего колебания и принятого критерия качества фильтрации. В зависимости от того, линейно или нелинейно осуществляется кодирование несущего колебания процессом различают линейную или нелинейную фильтрацию. Примером линейного кодирования является амплитудная модуляция, а в качестве нелинейного можно назвать фазовую и частотную модуляции.

Наиболее полные результаты получены в теории линейной фильтрации. Эти результаты имеют важное значение и для нелинейной фильтрации. Дело в том, что в большинстве практически важных случаев устройства оптимальной линейной и нелинейной фильтрации радиосигналов можно

разделить на две части: безынерционный дискриминатор (демодулятор) и фильтрующие частотно-избирательные цепи. В дискриминаторе осуществляется «извлечение» из сигнала самого сообщения а выделение этого сообщения из шумов производится в линейных инерционных цепях оптимального фильтра [52, 8].

Встречаются также ситуации, когда оптимальный фильтр не содержит дискриминатор и состоит только из частотно-избирательных цепей. Примерами таких ситуаций можно назвать следующие: использование оптимального фильтра при вторичной обработке радиолокационных данных; фильтрация в нерадиотехнических измерителях; совместная обработка данных, получаемых от нескольких радиотехнических и нерадиотехнических измерителей.

Поэтому синтез частотно-избирательных цепей, обеспечивающих оптимальное выделение сообщения из смеси его с шумом, в теории фильтрации имеет фундаментальное значение.

Задача оптимальной линейной фильтрации формулируется следующим образом. Фильтруемый процесс совместно с шумом (помехами) образует аддитивную смесь

Как отдельные слагаемые, так и сумма в целом представляют собой реализации некоторых случайных процессов. В соответствии с условием (стр. 152), составляющие выражения (4.4.40) следовало бы снабдить индексом (выборка). Однако в данном разделе не будут фигурировать законы распределения и, следовательно, исключается опасность путаницы выборочных значений и аргументов функций распределения. Поэтому для упрощения записей индекс при обозначении реализации опускается.

В процессе фильтрации воспроизведению подлежит либо само сообщение либо некоторое воздействие связанное с заданным функциональным преобразованием. Таким функциональным преобразованием будет, например, дифференцирование или интегрирование В этом случае на выходе фильтра воспроизводятся производная или интеграл от Воспроизведение может осуществляться в момент поступления данных (собственно задача фильтрации), спустя время после поступления данных (задача интерполяции или сглаживания). Наряду

Рис. 4.8.

с этим возможно предсказание будущего поведения процесса на время от момента поступления данных (задача экстраполяции или предсказания).

Критерием оптимальности процедуры обработки является минимум среднеквадратической ошибки. Если воспроизводится сам процесс то должно обеспечиваться условие

где процесс на выходе фильтра, а символ обозначает операцию статистического усреднения.

Наиболее завершенные результаты в теории линейной фильтрации получены для процесса являющегося стационарным и, в частности, для того практически важного случая, когда спектральная плотность процесса описывается дробно-рациональной функцией частоты. Наглядное представление о получении таких процессов дает метод мирующего фильтра. Суть метода состоит в том, что процесс образуется на выходе линейного фильтра, на вход которого подается белый шум.

На рис. 4.8 показана процедура формирования сообщения и выделение его из смеси с шумом при помощи оптимального фильтра. Для простоты будем полагать, что шум белый и не коррелирован с Учет отличия шума от белого не вносит в процедуру отыскания оптимального фильтра ничего принципиально нового, но делает синтез более громоздким.

Формирующий фильтр характеризуется весовой функцией или комплексной частотной характеристикой Для оптимального фильтра имеем соответственно весовую (в общем случае нестационарную) функцию или комплексную частотную характеристику вид которых должен быть определен в процессе синтеза.

Шумовые воздействия и задаются корреляционными функциями

или спектральными плотностями соответственно.

Корреляционная функция и спектральная плотность процесса связаны с характеристиками формирующего фильтра следующими соотношениями:

Задача определения структуры и параметров оптимального фильтра в рассматриваемых условиях решалась Винером. Было найдено, что весовая функция должна удовлетворять следующему интегральному уравнению:

или, учитывая, что шум белый

Как показывает (4.4.44), структура оптимального фильтра зависит от вида корреляционной функции фильтруемого процесса, а та, в свою очередь, определяется весовой функцией формирующего фильтра (4.4.41). Однако связь между весовыми функциями достаточно сложная и определить непосредственно по виду не решая интегральных уравнений (4.4.43) или (4.4.44), невозможно.

При решении уравнения (4.4.43) возникают значительные трудности, особенно, если рассматривается неустановившийся режим, т. е. учитывается момент включения оптимального фильтра, а комплексный коэффициент передачи формирующего фильтра представляет собой отношение полиномов высокого порядка. Некоторые примеры вычисления

весовой функции оптимального фильтра для различных корреляционных функций рассмотрены в книге [8]. Несколько проще определить характеристики фильтра в установившемся режиме, когда верхние пределы интегралов в (4.4.43), (4.4.44) принимаются бесконечными. В этом случае уравнения (4.4.43), (4.4.44) решаются методом преобразования Фурье, а результатом решения будет комплексная частотная характеристика оптимального фильтра [149].

После определения или возникает задача воспроизведения (моделирования) фильтра либо в виде алгоритма работы вычислительной машины, или в виде некоторой конструкции, состоящей из резисторов, конденсаторов, индуктивностей, следящих систем и т. д. При современном развитии техники, когда ряд радиотехнических устройств имеет выход на вычислительные машины, задание фильтра в виде алгоритма предпочтительнее. Поэтому необходимо перейти от к дифференциальным уравнениям, которые описывают процессы в оптимальном фильтре. Хотя такой переход в принципе всегда возможен [125], однако он связан с громоздкими вычислениями.

Перечисленные выше трудности, связанные с решением уравнений (4.4.43), (4.4.44) и моделированием винеровского фильтра, явились одной из причин ограниченного применения его в практических разработках. Эти же трудности послужили стимулом для поисков новых подходов к решению задачи оптимальной фильтрации. Весьма плодотворной оказалась идея задания формирующего фильтра в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка, что позволило получить очень простую связь между структурами формирующего и оптимального фильтров. На этой идее основанаметодика синтеза, предложенная Калманом и Бьюси [73]. Фильтры, построенные по этой методике, носят название фильтров Калмана.

С целью уяснения существа вопроса введем основные понятия теории фильтров Калмана на основе рассмотрения простейшего примера. Предположим, что фильтруемый процесс формируется путем прохождения белого шума через низкочастотный фильтр с комплексной частотной характеристикой

где собственная частота фильтра; коэффициент затухания.

Частотной характеристике (4.4.45) соответствует весовая функция

Для нахождения винеровского оптимального фильтра необходимо из (4.4.41) определить корреляционную функцию по заданной выражением (4.4.46) весовой функции формирующего фильтра, а затем решить интегральное уравнение (4.4.44). Нетрудно представить сложность подобной задачи.

Рассматриваемый формирующий фильтр может быть задан также дифференциальным уравнением второго порядка

где мгновенное значение белого шума, подаваемого на формирующий фильтр. Здесь и далее для упрощения записи аргумент функций времени будет опускаться.

Вместо уравнения (4.4.47) запишем систему из двух уравнений первого порядка, обозначив

Векторная форма системы уравнений (4.4.48) имеет вид

или

Рис. 4.9.

Применительно к рассматриваемому примеру х представляет собой вектор-столбец с элементами матрицы равны соответственно

наконец, вектор шумов и состоит из элементов 0, и.

На рис. 4.9 изображена модель образования смеси полезного воздействия х и шума 5 при задании формирующего фильтра в виде дифференциальных уравнений. Элементы вектора х характеризуют состояние модели, поэтому их называют переменными состояния. Как правило, в качестве переменных состояния выбираются выходные сигналы интеграторов [56].

Уравнение (4.4.49) описывает формирующий фильтр сколь угодно высокого порядка. Более того, матрицы в общем случае могут быть нестационарными, т. е. состоять из элементов, зависящих от времени. При этом сообщение х будет также нестационарно.

Для построения общей модели смеси фильтруемого процесса с шумом уравнение (4.4.49) должно быть дополнено соотношением

Это соотношение иногда называют уравнением наблюдения, так как матрица показывает, какая из переменных состояния должна фильтроваться (наблюдаться) в оптимальном устройстве. Так, если в рассматриваемом примере то фильтроваться будет процесс При фильтрации подлежит производная этого процесса. Наконец, при будут фильтроваться как

сам процесс, так и его производная. В последнем случае вектор шумов должен состоять из двух элементов, т. е. необходимо использовать два источника шумов или один источник с двумя выходами.

Общая схема воспроизведения вектора у представлена на рис. 4.10 (левая часть).

Оптимальный фильтр, обеспечивающий воспроизведение процесса х с минимальной среднеквадратической ошибкой, описывается следующим векторным уравнением [4, 26, 73]:

с начальными условиями характеризующими априорные данные о процессе х на выходе фильтра в момент Если такие данные отсутствуют, то принимают В (4.4.51) к — матричный коэффициент передачи оптимального фильтра.

Структурная схема оптимального фильтра показана на рис. 4.10 (правая часть). Обрабатываемая смесь у и отфильтрованный процесс х подаются на устройство сравнения. Получаемая в результате сравнения разность, определяет отличие вновь поступивших данных от имевшихся на выходе синтезируемого фильтра. Эта разность с весовым коэффициентом к поступает на инерционную часть фильтра, вид которой полностью аналогичен формирующему фильтру. Поэтому нахождение структуры оптимального фильтра не представляет труда. Напомним, что связь весовых функций формирующего и оптимального фильтров (4.4.41), (4.4.44) в винеровской задаче не была столь простой.

Рис. 4.10.

Основной проблемой, которая возникает при построении калмановского фильтра, является определение матричного коэффициента передачи k. Он задается следующей системой уравнений [4, 26, 73]:

Здесь симметричная матрица дисперсий, определяющая точность фильтрации, характеризуют корреляционные матрицы белых шумов т. е.

Символ означает транспонирование матрицы. При записи выражений для корреляционных функций шумов учитывалось, что эти шумы могут быть нестационарными, а следовательно, элементы матрицы могут зависеть от времени. Уравнение дисперсий (4.4.53) представляет собой матричное нелинейное уравнение Риккати.

Если рассматривается установившийся режим, то для определения вместо дифференциального уравнения (4.4.53) решается алгебраическое уравнение

Матрица дисперсий, а следовательно, и коэффициент передачи к не зависят от поступающих данных, содержащихся в обрабатываемой смеси у, поэтому они рассчитываются заранее до начала самой процедуры фильтрации. Для расчета необходимо знать параметры формирующего фильтра и характеристики шумов

Для иллюстрации методики синтеза фильтра Калмана продолжим рассмотренный ранее пример. Из (4.4.52) найдем коэффициент передачи фильтра

Отсюда следует, что

С учетом (4.4.55) и (4.4.49) уравнение (4.4.51) оптимального фильтра запишется в виде

Матричному уравнению (4.4.56) соответствует система двух скалярных уравнений

На основании этих уравнений составлена структурная схема фильтра (рис. 4.11). Часть схемы, обведенная пунктирной линией, полностью повторяет структуру формирующего фильтра. В исходной постановке задачи требовалось получить

Рис. 4.11.

из смеси полезного воздействия и шума оптимальное значение процесса х. В синтезированном фильтре «попутно» формируется и оптимальная оценка производной этого процесса. Такое свойство фильтра Калмана носит достаточно общий характер: фильтр выдает оптимальные оценки всех переменных состояния вне зависимости от того, какой из этих процессов непосредственно измеряется.

На частотно-избирательные цепи фильтра, которым принадлежит основная роль в выделении полезного воздействия, подаются отфильтрованные переменные состояния и вновь поступающие данные о процессе х, содержащиеся в обрабатываемой смеси у. Переменные характеризуют априорные сведения (заключенные в начальных условиях) и результаты предшествующих измерений. Вновь поступающие данные обновляют эти результаты в соответствии с фактическим состоянием фильтруемого процесса х. Как следует из (4.4.55), весовые коэффициенты с которыми вновь поступающие данные подаются на частотно-избирательные цепи, обратно пропорциональны спектральной плотности шумов сопровождающих полезное воздействие. Благодаря такой структуре этих коэффициентов, происходит перераспределение значимости имеющихся и вновь поступающих данных в зависимости от величины Так, при возрастании шумов доля новых данных в формировании оптимального значения фильтруемого процесса уменьшается. В пределе при фильтр обходится без них, ориентируясь лишь на априорные сведения. Если

, то роль вновь поступающих данных возрастает и в пределе, когда коэффициенты становятся бесконечно большими. Это означает, что фильтрация не нужна, а в качестве оптимального значения выделяемого процесса следует принять входное воздействие,

Дисперсии определяющие коэффициенты передачи находятся путем решения уравнения (4.4.53).

Ранее указывалось, что наряду с заданием полезного воздействия (сообщения) в виде случайного процесса с дробно-рациональной относительно частоты спектральной плотностью, используется также полиномиальная модель входного воздействия. Подобную модель часто применяют при синтезе радиолокационных и радионавигационных измерителей координат подвижных объектов. В этом случае коэффициенты полинома (4.4.38) характеризуют соответственно начальное значение координаты объекта, его скорость и ускорение.

Формирующий фильтр для полиномиальной модели входного воздействия представлен на рис. 4.12. Коэффициенты полинома в такой модели являются случайными величинами, которые представляют собой начальные условия на выходах соответствующих интеграторов. Для приведенной модели нетрудно записать уравнение состояния

с начальными условиями и матрицей

Основное достоинство методики синтеза линейных фильтров, разработанной Калманом и Бьюси состоит в том, что она дает решение задачи об оптимальной фильтрации не-

Рис. 4.12.

Рис. 4.13.

посредственно в такой форме (4.4.51) — (4.4.54), для которой сравнительно несложно осуществить моделирование фильтра на аналоговой или цифровой ЭВМ. Поэтому калмановские фильтры, несмотря на небольшой срок, прошедший со времени разработки основ их теории (1961 г.), нашли широкое применение в практических приложениях и особенно в радиолокационных и радионавигационных системах [16, 49].

Важным преимуществом этой методики является также возможность решения нестационарной задачи, когда элементы матрицы и интенсивности шумов изменяются во времени. Помимо того, теория допускает обобщение на случай небелых шумов [20].

Используя основные положения теории калмановской фильтрации, несложно синтезировать многомерный оптимальный фильтр, в котором осуществляется обработка результатов измерений одного и того же процесса х несколькими измерителями, и оценить выигрыш, даваемый применением такого фильтра [40]. Оказывается, что величина выигрыша зависит от статистических свойств процесса х. Для воздействий х, наиболее часто употребляемых в исследованиях (марковский и винеровский процессы, «черный» шум), выигрыш по среднеквадратической ошибке не превосходит где число измерителей, а для марковского процесса он меньше

В задачах нелинейной фильтрации радиосигналов фильтруемый процесс может быть представлен в виде напряжения на выходе некоторой модели (рис. 4.13). В отличие от ранее рассмотренной модели сигнала, здесь введен модулятор, в котором осуществляется модуляция несущего колебания сообщением х.

Фильтруемый процесс представляет собой смесь полезного сигнала и шума

Рис. 4.14,

Полезный сигнал является известной функцией времени и случайного процесса х, статистические свойства которого определяются видом формирующего фильтра. Если сообщение х связано с сигналом «с нелинейной зависимостью, то возникает задача нелинейной фильтрации.

В ряде практически важных случаев допустимо представление оптимального нелинейного фильтра в форме, показанной на рис. 4.14 [52]. На выходе безынерционного дискриминатора формируется процесс который линейно связан с х. Поэтому последующая фильтрация осуществляется в линейных частотно-избирательных цепях в соответствии с рассмотренной ранее теорией линейной оптимальной фильтрации. Представленный фильтр обеспечивает минимальное среднеквадрэтическое значение ошибки в каждый момент времени. -

Операция формирования процесса при оптимальной нелинейной фильтрации описывается следующим выражением [52]:

Входящая в выражение (4.4.60) функция для случая, когда сигнал является детерминированным, т. е. известным полностью, за исключением процесса х, а аддитивная помеха представляет собой белый шум со спектральной плотностью выражается формулой

Тогда

Здесь для краткости обозначено

На рис. 4.15 изображена структурная схема дискриминатора, построенная на основании формулы (4.4.62). Основными элементами дискриминатора являются: вычитающее устройство, умножитель (синхронный детектор) и два генератора вырабатывающие функции и . На входы генераторов подается отфильтрованное сообщение х, которое формируется на выходе частотно-избирательных цепей оптимального фильтра. Существенно нелинейными элементами дискриминатора являются генераторы

Рис. 4.15.

В качестве примера рассмотрим прохождение через описанный дискриминатор смеси, состоящей из полезного сигнала, промодулированного по фазе, и шума

где амплитуда и частота сигнала считаются известными, а коэффициент служит для согласования размерностей фазы и сообщения х. Из (4.4.63) следует, что сообщение х входит в полезный сигнал нелинейно.

Подставив (4.4.63) в (4.4.62) и выполнив несложные преобразования, найдем

Поскольку следующие за дискриминатором частотно-избирательные цепи не пропускают сигналов с двойной частотой несущих колебаний, эти слагаемые в дальнейшем не рассматриваются.

При оптимальной фильтрации значения х будут близки к х, следовательно, допустима замена синуса в (4.4.64) его аргументом,

Введем обозначения

Тогда (4.4.64) запишется в виде Отсюда следует, что по отношению к фильтруемому процессу у и к оценке сообщения х дискриминатор оптимального нелинейного фильтра выполняет операцию, аналогичную той, которая выполняется элементом сравнения, стоящим на входе линейного оптимального фильтра. Поэтому нахождение сглаживающих цепей фильтра осуществляется по методике линейной фильтрации.