Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3. ФильтрацияВ радиосвязи задача оптимальной фильтрации состоит в наилучшем выделении передаваемого сообщения из принимаемой смеси сигнала с шумом. В радиолокации и радионавигации такому выделению подлежат процессы, характеризующие изменение во времени координат цели относительно РЛС или снабженного радионавигационной аппаратурой подвижного объекта относительно некоторых ориентиров. Применительно к автоматическим измерительным устройствам подобные процессы часто называют входными или полезными воздействиями. Объединяют такие понятия, как сообщение и полезное воздействие, то, что они могут рассматриваться в качестве отдельных реализаций некоторого случайного процесса. Существуют различные модели задания случайного процесса. В радиосвязи, например, речевое сообщение отождествляется с выборочной функцией показывают, что если при проектировании исходят из допущения о нормальности фильтруемого процесса, то полученная система работает вполне удовлетворительно и при некоторых отклонениях входного процесса от гауссова [26]. В качестве статистической модели движения радиолокационной цели также часто используются выборки некоторого стационарого случайного процесса [149]. Наряду с этим рассматривается и полиноминальная модель [93], когда измеряемая координата
Для каждой проводки цели коэффициенты полинома Сообщением (измеряемым процессом) модулируется несущее колебание, поэтому принимаемый сигнал
полезного сообщения Схема выделения строится на основе статистических свойств процесса Наиболее полные результаты получены в теории линейной фильтрации. Эти результаты имеют важное значение и для нелинейной фильтрации. Дело в том, что в большинстве практически важных случаев устройства оптимальной линейной и нелинейной фильтрации радиосигналов можно разделить на две части: безынерционный дискриминатор (демодулятор) и фильтрующие частотно-избирательные цепи. В дискриминаторе осуществляется «извлечение» из сигнала Встречаются также ситуации, когда оптимальный фильтр не содержит дискриминатор и состоит только из частотно-избирательных цепей. Примерами таких ситуаций можно назвать следующие: использование оптимального фильтра при вторичной обработке радиолокационных данных; фильтрация в нерадиотехнических измерителях; совместная обработка данных, получаемых от нескольких радиотехнических и нерадиотехнических измерителей. Поэтому синтез частотно-избирательных цепей, обеспечивающих оптимальное выделение сообщения Задача оптимальной линейной фильтрации формулируется следующим образом. Фильтруемый процесс
Как отдельные слагаемые, так и сумма в целом представляют собой реализации некоторых случайных процессов. В соответствии с условием (стр. 152), составляющие выражения (4.4.40) следовало бы снабдить индексом В процессе фильтрации воспроизведению подлежит либо само сообщение
Рис. 4.8. с этим возможно предсказание будущего поведения процесса Критерием оптимальности процедуры обработки является минимум среднеквадратической ошибки. Если воспроизводится сам процесс
где Наиболее завершенные результаты в теории линейной фильтрации получены для процесса На рис. 4.8 показана процедура формирования сообщения Формирующий фильтр характеризуется весовой функцией Шумовые воздействия и
или спектральными плотностями Корреляционная функция
Задача определения структуры и параметров оптимального фильтра в рассматриваемых условиях решалась Винером. Было найдено, что весовая функция
или, учитывая, что шум белый
Как показывает (4.4.44), структура оптимального фильтра зависит от вида корреляционной функции При решении уравнения (4.4.43) возникают значительные трудности, особенно, если рассматривается неустановившийся режим, т. е. учитывается момент включения оптимального фильтра, а комплексный коэффициент передачи формирующего фильтра представляет собой отношение полиномов высокого порядка. Некоторые примеры вычисления весовой функции оптимального фильтра для различных корреляционных функций После определения Перечисленные выше трудности, связанные с решением уравнений (4.4.43), (4.4.44) и моделированием винеровского фильтра, явились одной из причин ограниченного применения его в практических разработках. Эти же трудности послужили стимулом для поисков новых подходов к решению задачи оптимальной фильтрации. Весьма плодотворной оказалась идея задания формирующего фильтра в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка, что позволило получить очень простую связь между структурами формирующего и оптимального фильтров. На этой идее основанаметодика синтеза, предложенная Калманом и Бьюси [73]. Фильтры, построенные по этой методике, носят название фильтров Калмана. С целью уяснения существа вопроса введем основные понятия теории фильтров Калмана на основе рассмотрения простейшего примера. Предположим, что фильтруемый процесс
где Частотной характеристике (4.4.45) соответствует весовая функция
Для нахождения винеровского оптимального фильтра необходимо из (4.4.41) определить корреляционную функцию Рассматриваемый формирующий фильтр может быть задан также дифференциальным уравнением второго порядка
где Вместо уравнения (4.4.47) запишем систему из двух уравнений первого порядка, обозначив
Векторная форма системы уравнений (4.4.48) имеет вид
или
Рис. 4.9. Применительно к рассматриваемому примеру х представляет собой вектор-столбец с элементами
наконец, вектор шумов и состоит из элементов 0, и. На рис. 4.9 изображена модель образования смеси полезного воздействия х и шума 5 при задании формирующего фильтра в виде дифференциальных уравнений. Элементы вектора х характеризуют состояние модели, поэтому их называют переменными состояния. Как правило, в качестве переменных состояния выбираются выходные сигналы интеграторов [56]. Уравнение (4.4.49) описывает формирующий фильтр сколь угодно высокого порядка. Более того, матрицы Для построения общей модели смеси фильтруемого процесса с шумом уравнение (4.4.49) должно быть дополнено соотношением
Это соотношение иногда называют уравнением наблюдения, так как матрица сам процесс, так и его производная. В последнем случае вектор шумов Общая схема воспроизведения вектора у представлена на рис. 4.10 (левая часть). Оптимальный фильтр, обеспечивающий воспроизведение процесса х с минимальной среднеквадратической ошибкой, описывается следующим векторным уравнением [4, 26, 73]:
с начальными условиями Структурная схема оптимального фильтра показана на рис. 4.10 (правая часть). Обрабатываемая смесь у и отфильтрованный процесс х подаются на устройство сравнения. Получаемая в результате сравнения разность, определяет отличие вновь поступивших данных от имевшихся на выходе синтезируемого фильтра. Эта разность с весовым коэффициентом к поступает на инерционную часть фильтра, вид которой полностью аналогичен формирующему фильтру. Поэтому нахождение структуры оптимального фильтра не представляет труда. Напомним, что связь весовых функций формирующего и оптимального фильтров (4.4.41), (4.4.44) в винеровской задаче не была столь простой.
Рис. 4.10. Основной проблемой, которая возникает при построении калмановского фильтра, является определение матричного коэффициента передачи k. Он задается следующей системой уравнений [4, 26, 73]:
Здесь
Символ Если рассматривается установившийся режим, то для определения вместо дифференциального уравнения (4.4.53) решается алгебраическое уравнение
Матрица дисперсий, а следовательно, и коэффициент передачи к не зависят от поступающих данных, содержащихся в обрабатываемой смеси у, поэтому они рассчитываются заранее до начала самой процедуры фильтрации. Для расчета необходимо знать параметры формирующего фильтра и характеристики шумов Для иллюстрации методики синтеза фильтра Калмана продолжим рассмотренный ранее пример. Из (4.4.52) найдем коэффициент передачи фильтра
Отсюда следует, что
С учетом (4.4.55) и (4.4.49) уравнение (4.4.51) оптимального фильтра запишется в виде
Матричному уравнению (4.4.56) соответствует система двух скалярных уравнений
На основании этих уравнений составлена структурная схема фильтра (рис. 4.11). Часть схемы, обведенная пунктирной линией, полностью повторяет структуру формирующего фильтра. В исходной постановке задачи требовалось получить
Рис. 4.11. из смеси полезного воздействия и шума оптимальное значение На частотно-избирательные цепи фильтра, которым принадлежит основная роль в выделении полезного воздействия, подаются отфильтрованные переменные состояния
Дисперсии Ранее указывалось, что наряду с заданием полезного воздействия (сообщения) в виде случайного процесса с дробно-рациональной относительно частоты спектральной плотностью, используется также полиномиальная модель входного воздействия. Подобную модель часто применяют при синтезе радиолокационных и радионавигационных измерителей координат подвижных объектов. В этом случае коэффициенты Формирующий фильтр для полиномиальной модели входного воздействия представлен на рис. 4.12. Коэффициенты полинома в такой модели являются случайными величинами, которые представляют собой начальные условия на выходах соответствующих интеграторов. Для приведенной модели нетрудно записать уравнение состояния
с начальными условиями
Основное достоинство методики синтеза линейных фильтров, разработанной Калманом и Бьюси состоит в том, что она дает решение задачи об оптимальной фильтрации не-
Рис. 4.12.
Рис. 4.13. посредственно в такой форме (4.4.51) — (4.4.54), для которой сравнительно несложно осуществить моделирование фильтра на аналоговой или цифровой ЭВМ. Поэтому калмановские фильтры, несмотря на небольшой срок, прошедший со времени разработки основ их теории (1961 г.), нашли широкое применение в практических приложениях и особенно в радиолокационных и радионавигационных системах [16, 49]. Важным преимуществом этой методики является также возможность решения нестационарной задачи, когда элементы матрицы Используя основные положения теории калмановской фильтрации, несложно синтезировать многомерный оптимальный фильтр, в котором осуществляется обработка результатов измерений одного и того же процесса х несколькими измерителями, и оценить выигрыш, даваемый применением такого фильтра [40]. Оказывается, что величина выигрыша зависит от статистических свойств процесса х. Для воздействий х, наиболее часто употребляемых в исследованиях (марковский и винеровский процессы, «черный» шум), выигрыш по среднеквадратической ошибке не превосходит В задачах нелинейной фильтрации радиосигналов фильтруемый процесс может быть представлен в виде напряжения на выходе некоторой модели (рис. 4.13). В отличие от ранее рассмотренной модели сигнала, здесь введен модулятор, в котором осуществляется модуляция несущего колебания Фильтруемый процесс
Рис. 4.14, Полезный сигнал В ряде практически важных случаев допустимо представление оптимального нелинейного фильтра в форме, показанной на рис. 4.14 [52]. На выходе безынерционного дискриминатора формируется процесс Операция формирования процесса
Входящая в выражение (4.4.60) функция
Тогда
Здесь для краткости обозначено
На рис. 4.15 изображена структурная схема дискриминатора, построенная на основании формулы (4.4.62). Основными элементами дискриминатора являются: вычитающее устройство, умножитель (синхронный детектор) и два генератора
Рис. 4.15. В качестве примера рассмотрим прохождение через описанный дискриминатор смеси, состоящей из полезного сигнала, промодулированного по фазе, и шума
где амплитуда Подставив (4.4.63) в (4.4.62) и выполнив несложные преобразования, найдем
Поскольку следующие за дискриминатором частотно-избирательные цепи не пропускают сигналов с двойной частотой несущих колебаний, эти слагаемые в дальнейшем не рассматриваются. При оптимальной фильтрации значения х будут близки к х, следовательно, допустима замена синуса в (4.4.64) его аргументом, Введем обозначения
Тогда (4.4.64) запишется в виде
|
1 |
Оглавление
|