Глава 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТ ДЛЯ АЛГОРИТМОВ ТРЕХМЕРНОЙ ГРАФИКИ

3.1. ВЕКТОРЫ

Необходимо иметь определенную математическую подготовку, чтобы понимать и писать программы для трехмерной графики, Эта книга не является учебником по математике, и здесь предполагается, что читатель уже знаком с математическими приемами, используемыми в данной главе, особенно с векторами и детерминантами.

Вектор — это направленный отрезок прямой линии, характеризуемый только его длиной и направлением. На рис. 3.1 показаны два представления одного и того же вектора а Следовательно, при переносе вектор не изменяется. На рис. 3.2 начальная точка вектора b совпадает с конечной точкой вектора Тогда сумма векторов а и b определяется как вектор с, проведенный из начальной точки вектора а в конечную точку вектора поэтому можно записать

Рис. 3.1. Равные векторы

Рис. 3.2. Сложение векторов

Длина вектора а обозначается и равна расстоянию между его начальной и конечной точками. Вектор с нулевой длиной называется нулевым вектором и обозначается 0. Обозначение -а применяется для вектора, имеющего длину направление которого обратно направлению вектора а. Для любого вектора а и вещественного числа с вектор имеет длину Если или то в противном случае вектор совпадает по направлению с вектором а, если или имеет противоположное направление, если Для любых векторов и вещественных чисел с, к будем иметь

На рис. 3.3 показаны три единичных вектора Они взаимно перпендикулярны, имеют длину, равную 1, и определяют направления координатных осей. Можно сказать, что векторы к образуют тройку ортогональных единичных векторов. Координатная система является правой, это означает, что если поворот от вектора к вектору на 90° соответствует повороту винта с правой резьбой, то вектор к совпадает с направлением перемещения винта.

Точка О в начале координатной системы часто является начальной точкой всех векторов. Любой вектор может быть записан как линейная комбинация единичных векторов

Рис. 3.3. Правая координатная система

Вещественные числа определяют координаты конечной точки Р вектора Этот вектор может быть обозначен либо в виде строки, либо в виде столбца

Числа х, у, z иногда называют элементами вектора