3.3. ДЕТЕРМИНАНТЫ

Перед описанием векторного произведения обратим внимание на детерминанты. Чтобы решить следующую систему двух линейных уравнений:

необходимо умножить первое уравнение на коэффициент а второе — на коэффициент и сложить, тогда нолучим

После этого можно первое уравнение умножить на а второе

— на и также сложить. В результате получим

Если не равно нулю, то можно выполнить деление и найти

Выражение в делителе можно записать в форме

В этом случае оно называется детерминантом второго порядка. Следовательно,

С помощью детерминантов уравнение (3.3) может быть записано в виде

где

Заметим, что получается путем замены столбца в на правую часть системы уравнений или 2). Такой способ решения системы линейных уравнений называется “правилом Крамера”. Этот способ пригоден не только для системы двух уравнений (хотя с точки зрения затрат машинного времени он оказывается очень дорогим для больших систем). Определим детерминант третьего порядка в виде уравнения

и детерминант четвертого порядка

и так далее.

Детерминанты имеют много интересных свойств, некоторые из них перечислены ниже.

1. Значение детерминанта не изменится, если строки записать в виде столбцов в том же порядке, например:

2. Если произвести взаимную замену двух строк (или двух столбцов), то значение детерминанта будет умножено на -1:

3. Если любую строку (или столбец) умножить на коэффициент, то значение детерминанта также будет умножено на этот коэффициент. Например:

4. Если строка (или столбец) изменяется путем добавления соответствующих элементов другой строки (или столбца), умноженных на константу, то значение детерминанта не изменится. Например:

5. Если строка (или столбец) является линейной комбинацией некоторых других строк (или столбцов), то значение детерминанта равно нулю. Например:

Существует много полезных применений детерминантов. Детерминантные уравнения, выражающие геометрические свойства, элегантны и легки для запоминания. Например, уравнение для прямой линии в двухмерном пространстве, проходящей через две точки может быть записано в виде

Такая запись становится очевидной, если, во-первых, рассматривать уравнение (3.5) как специальное обозначение линейных уравнений по х и у и, следовательно, представляющих прямую линию в пространстве и, во-вторых, можно убедиться, что координаты обеих точек удовлетворяют этому уравнению, поскольку при их подстановке в первую строку получим две одинаковые строки. Аналогично, плоскость в трехмерном пространстве, проходящая через три точки будет описываться уравнением