3.4. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Векторное произведение двух векторов а и b обозначается

и равно вектору который обладает следующими свойствами. Если для некоторого скаляра с, то В противном случае длина вектора равна

где у — угол между векторами а и а направление вектора перпендикулярно обоим векторам а и b и таково, что именно в таком порядке, образуют правостороннюю тройку. По» следнее означает, что если вектор а поворачивается на угол в направлении к вектору то вектор имеет направление перемещения винта с правой резьбой, поворачиваемого в том же направлении. Из этого определения можно вывести следующие свойства векторного произведения:

В общем случае а

Используя правую ортогональную систему координат, как и в параграфе 3.1, с единичными векторами будем иметь

Используя эти значения векторных произведений в расширенной записи векторного произведения

получим

что может быть записано в виде

или в форме, более удобной для запоминания:

Рис. 3.4. Параллелограмм с площадью

Рис. 3.5. Векторное произведение к

Это скорее мнемоническая запись, чем реальный детерминант, поскольку элементами первой строки являются векторы, а не числа. Если через векторы а и b обозначены соседние стороны параллелограмма, как на рис. 3.4, то площадь этого параллелограмма равна длине вектора а Это непосредственно следует из записи

На рис. 3.5 векторы а и b лежат в плоскости, проходящей через оси х и у. Предположим, что ось z выходит из листа бумаги к

читателю и соответствует правой координатной системе. Тогда для трехмерного пространства

Таким образом, вектор а будет иметь то же направление, что и вектор к, но только в том случае, если детерминант

имеет положительный знак. Это налагает условие, что вектор а, поворачиваемый по направлению к вектору b на угол меньше 180°, вращается в положительном направлении (против часовой стрелки) тогда, и только тогда, когда Этот способ будем ниже использовать для определения, обходятся ли вершины треугольника А, В, С в направлении против часовой стрелки при их перечислении именно в этом порядке.

На рис. 3.6. имеем

Рис. 3.6. Точки А, В, С обходятся против часовой стрелки

Вершины А, В, С, именно в этом порядке, обходятся в направлении против часовой стрелки, если, и только если, вектор и поворачивается в сторону направления вектора на угол против часовой стрелки. Это означает, что направление обхода точек А, В, С может быть установлено на основе анализа детерминанта

следующим образом:

точки А, В, С обходятся против часовой стрелки;

точки А, В, С обходятся по часовой стрелке;

точки А, В, С лежат на одной прямой.