ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Последние десятилетия характеризуются бурным развитием конструктивных подходов в математике. Вычислительная тенденция в современной математике вызвала устойчивый интерес к выяснению общей роли алгорифмических процессов. В частности, появилось настойчивое стремление построить главные разделы математики на строго эффективной основе, без привлечения актуально бесконечных множеств и закона исключенного третьего, нарушающих вычислимость. Идея такого построения, восходящая к интуиционистской концепции Брауэра [1], [2], получила дальнейшее развитие в работе Тьюринга [1] (в которой, в частности, описано точное понятие алгоритма) и в работе Банаха и Мазура [1].

В настоящее время конструктивная математика довольно детально и глубоко разработана с различных позиций.

В Советском Союзе плодотворно работает большая школа конструктивной математики. Со взглядами этой школы на основания математики читатель может ознакомиться по статьям Маркова [1] и Шанина [1]. Основные факты конструктивного математического анализа в стиле школы Маркова систематически изложены в книге Кушнера [1]. Другие подходы к построению конструктивной математики описаны в монографиях Бишопа [1], Гудстейна [1].

Эта небольшая книга принадлежит перу известного шведского специалиста по математической логике П. Мартин-Лёфа. Она представляет собой блестяще написанный сжатый очерк основных идей и методов конструктивной математики. Для чтения книги

необходимо лишь знание основ математического анализа и некоторая общая математическая культура, поэтому она может служить для первого ознакомления с предметом.

В первых двух своих главах книга содержит сжатое изложение самых характерных результатов конструктивной математики. Выбор в качестве уточнения интуитивного понятия алгорифма канонических систем Поста позволил автору удивительно кратко изложить громоздкие конструкции теории алгорифмов (см., например, п. 7, п. 9). Этот выбор привел автора к трактовке открытых и замкнутых множеств при которой удалось доказать конструктивную версию теоремы Гейне — Бореля и теорему Бэра о категории Значительный интерес представляет также оригинальное построение теории борелевских множеств и теории меры (гл. 3 и 4). Автор привлекает для построения этих теорий так называемые обобщенные индуктивные определения (в терминологии автора — определения по трансфинитной индукции). Эта идея, восходящая к Брауэру, позволяет Мартин-Лёфу придать рассматриваемым конструктивным теориям такое же изящество, которое присуще их классическим прообразам. Специалист, несомненно, оценит и два применения конструктивной теории борелевских множеств к математической логике (п. 31 и п. 32).

Русский перевод книги снабжен несколькими примечаниями переводчика и редактора. Введение автора, содержащее более специальное обсуждение методологических установок монографии, перенесено в конец книги.

Можно надеяться, что предлагаемая книга будет полезна для широкого круга математиков и логиков, студентов, аспирантов, интересующихся конструктивностью в математике,

А. Г. Драгалин

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта монография выросла из лекций, которые я читал в университетах Орхуса и Стокгольма в 1966— 1968 годах. Целью этих лекций было ввести математиков, не имеющих логической подготовки, в круг идей, известных как интуиционистские или конструктивные, а также представить некоторые из моих собственных работ. Я добавил приложение, где описываю в логических терминах занятую мной конструктивную позицию.

Чикаго, октябрь 1968 Пер Мартин-Лёф