29. Теорема Брауэра о веерах

С каждой рекурсивной последовательностью натуральных чисел

мы можем связать дополнительно локализованное открытое множество А в бэровском пространстве, состоящее из всех окрестностей таких, что для некоторого является тогда локализованным замкнутым множеством, которое мы назовем ограничивающим множеством. Замкнутое множество в бэровском пространстве ограничено, если мы можем найти ограничивающее множество В, такое, что Ограниченное замкнутое множество в бэровском пространстве называется компактным.

Следующая лемма содержит основную сущность теоремы Брауэра о веерах.

Если открытое множество, покрывающее все бэровское пространство, и — рекурсивная последовательность натуральных чисел, мы можем найти настолько большое I, что принадлежит для всех

Сначала мы с помощью обычной индукции определим некоторое рекурсивно перечислимое отношение между окрестностями в бэровском пространстве и натуральными числами.

1 Если окрестность принадлежит то полагаем

2 Если для всех где есть длина то

Очевидно, означает, что принадлежит для всех где означает длину Таким образом, утверждение теоремы имеет место тогда и только тогда, когда мы можем найти такое I, что т. е. тогда и только тогда, когда принадлежит области

Мы сейчас покажем, что область содержит все окрестности I, которые заперты множеством значит, в частности, пустую последовательность ?. Мы сделаем это трансфинитной индукцией по длине доказательства того, что запирает Базис. Если принадлежит то так что принадлежит области Шаг индукции. Допустим, что принадлежит области для любого т. е. для любого мы можем найти такое, что Положим

где обозначает длину Тогда для всех так что в силу второго пункта выше Следовательно, принадлежит области Доказательство закончено.

Теорема Гейне — Бореля о покрытиях для бэровского пространства — простое следствие только что доказанной леммы.

Если компактное множество в бэровском пространстве и

где последовательность открытых множеств, то можно найти настолько большое что

Компактность означает, что где открыто и где - ограничивающее множество, определяемое рекурсивной последовательностью натуральных чисел

Далее, означает, что открытое множество покрывает все бэровское пространство. Применяя приведенную выше лемму, находим I, такое, что принадлежит для всех Так как имеется лишь конечное число таких окрестностей, мы можем найти настолько большое что все они содержатся уже в Теперь объединение этих окрестностей и А равно всему пространству и значит Следовательно,

а это и есть определение отношения

Если дискретнозначный частично рекурсивный функционал, который всюду определен на компактном множестве в бэровском пространстве, то можно найти натуральное число I, такое, что значение на определяется уже знанием первых I знаков аргумента.

Эта обычная форма теоремы о веерах, доказанная Брауэром [5], [6], [11] и [12] при дополнительном предположении, что компактное множество локализовано.

Доказательство. По предположению содержится в области которая определена как объединение всех окрестностей I, таких, что для некоторого натурального числа Согласно предыдущей теореме, уже конечное число этих окрестностей покрывает Пусть I — максимум их длин. Тогда для вычисления значений на достаточно знать первые I знаков аргумента.