35. Множества меры нуль

Удобно использовать следующее несколько упрощенное определение множества меры нуль, или, как мы будем иногда говорить, нулевого множества.

Борелевское множество А измеримо и имеет меру нуль тогда и только тогда, когда для любого мы можем найти открытое множество такое, что

ограничено числом

Чтобы увидеть это, допустим, что А измеримо и Тогда для данного мы можем найти простое множество и открытое множество такие, что

и ограничено числом открыто,

и мы покажем, что V ограничено числом Пусть простое множество Тогда

так что

что и требовалось доказать. Достаточность этого условия очевидна.

После этой переформулировки определения множества меры нуль непосредственно ясно, что борелевское подмножество нулевого множества — снова нулевое множество.

Если А — борелевское множество и где В измеримо и то А измеримо и

Отсюда и из результатов мы получаем следствие.

Если рекурсивная последовательность нулевых множеств, то нулевое множество.

Мы переходим к доказательству того, что понятие измеримости, с которым мы имеем дело, позволяет построить внутреннее предельное множество, максимальное в том смысле, что в нем содержится любое другое нулевое множество. Этот результат был получен Мартин-Лёфом [1].

Мы уже знаем, что открытые множества могут быть рекурсивно перенумерованы. Учитывая это, мы покажем, что для каждого вычислимого (достаточно брать его в виде мы можем рекурсивно перечислить все открытые множества такие, что

для всех простых множеств Выберем произвольное открытое множество и пусть рекурсивная нумерация составляющих его окрестностей. Модифицируем взяв объединение лишь тех для которых Так как последнее отношение рекурсивно перечислимо (в этом причина того, что мы выбрали вместо несколько отклонившись от определения ограниченности), то модифицированное открытое множество, удовлетворяющее вышеприведенному условию. Далее, те открытые множества для которых это условие уже выполнено, остаются неизменными после модификации.

Мы показали, что для любого мы можем рекурсивно перечислить открытые множества, удовлетворяющие указанному условию при Но тогда мы можем также рекурсивно перечислить внутренние предельные множества

которые таковы, что для всех простых множеств Очевидно, что все эти внутренние предельные множества измеримы и имеют меру нуль. Их объединение, скажем А, является, следовательно, множеством меры нуль.

Пусть В — произвольное множество меры нуль. Тогда, по определению нулевого множества, мы можем найти открытые множества такие, что

и для всех простых множеств Следовательно, так что А — максимальное множество меры нуль. Далее, будучи само нулевым множеством, А содержится в некотором внутреннем предельном множестве меры нуль, которому оно должно быть равно из-за максимальности. Следовательно, А — внутреннее предельное множество.

Мы построили внутреннее предельное множество меры нуль, содержащее любое множество меры нуль.

Переходя к дополнениям, мы видим, что мы могли сопоставить любой мере некоторое внешнее предельное множество, являющееся минимальным множеством меры 1. Его естественно назвать конструктивным носителем

Мы хотели бы сделать следующее замечание относительно классического понятия носителя. Он определяется как дополнение объединения всех окрестностей для которых Классически это замкнутое множество. Однако легко построить вычислимую меру для которой множество окрестностей таких, что не является рекурсивно перечислимым. Таким образом, мы не можем в общем случае получить классический носитель как конструктивное замкнутое множество, а вынуждены довольствоваться внутренним предельным множеством где объединение окрестностей 1 длины для которых Будучи множеством меры один, оно наверняка содержит конструктивный носитель, но в общем случае более объемисто. Например, классический носитель меры Лебега равен всему пространству, в то время как конструктивный носитель не содержит ни одной конструктивной точки. Далее, за исключением случая дискретного пространства, классический носитель не имеет никакого отношения к понятиям абсоч лютной непрерывности и сингулярности. С другой сто роны, две конструктивные меры являются, например, сингулярными тогда и только тогда, когда их кон структивные носители дизъюнктны.

Наконец, отметим следствие, усиливающее последнюю теорему из п. 33.

Если дано измеримое множество А, то мы можем найти измеримое внешнее предельное множество В и измеримое внутреннее предельное множество С, такие, что и, далее, любое измеримое множество, которое отличается от А не более чем на нулевое множество, также содержится между

Возьмем В и С, построенные в конце и модифицируем их, вычтя максимальное нулевое множество из В и добавив максимальное нулевое множество к С. Модифицированные таким образом очевидно удовлетворяют условиям теоремы.