17. Открытые и замкнутые множества

Открытое множество (Брауэр [3] использует термин это рекурсивно перечислимое множество окрестностей, удовлетворяющее следующим двум условиям.

1 Если тоньше принадлежит то принадлежит

2 Если I принадлежит то мы можем найти такое, что I тоньше

Среди открытых множеств имеется пустое множество 0 и множество всех окрестностей, которое мы обозначим через X и назовем всем пространством.

Окрестности погружаются в открытые множества путем сопоставления окрестности множества всех окрестностей которые тоньше

где а — конструктивная точка и открытое множество, если некоторая окрестность а принадлежит рекурсивно перечислимому множеству

если любая окрестность а не принадлежит рекурсивно перечислимому множеству

Если открытые множества, то определяются просто как пересечение и объединение рассматриваемых как рекурсивно перечислимые множества.

Последовательность открытых множеств — это рекурсивно перечислимое отношение между натуральными числами и окрестностями, такое, что для любого сечение этого отношения в есть открытое множество Объединение это объединение рассматриваемых как рекурсивно перечислимые множества, т. е. область значений этого отношения.

Существует рекурсивная нумерация открытых множеств.

Это значит, разумеется, что мы можем построить последовательность открытых множеств, обладающую свойством, что всякое открытое множество встречается в этой последовательности. Доказательство параллельно доказательству теоремы о перечислении для аппроксимаций.

В евклидовом пространстве (в частности, на вещественной прямой) и в канторовом пространстве мы можем, ввиду локальной компактности, нормализовать определение открытого множества, наложив еще одно условие чисто комбинаторного характера.

3 Если тоньше, чем принадлежат то принадлежит

В канторовском пространстве это условие можно сформулировать проще, сказав, что если две

окрестности принадлежат то должна принадлежать Заметим, что соответствующее условие для бэровского пространства требовало бы, чтобы принадлежала если принадлежит для всех уже не комбинаторное условие, а правило с бесконечным числом посылок, чем и объясняется тот факт, что экстенсиональная интерпретация открытых множеств в бэровском пространстве требует трансфинитной индукции и должна быть отложена до следующей главы.

После наложения третьего условия мы можем определить отношения включения и равенства между двумя открытыми множествами в евклидовом или канторовском пространстве.

если А содержится в В, когда они рассматриваются как рекурсивно перечислимые множества.

если

Если открытое множество, заданное, скажем, своим гёделевским номером, то замкнутое множество (Брауэр [4] говорит Bereichkomplement). Теоретико-множественные операции и отношения между замкнутыми множествами определяются по двойственности. Остается определить только отношение включения между двумя множествами, одно из которых открыто, а другое замкнуто, причем случай бэровского пространства все еще исключается.

, где открыты, означает, что если