Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ГЛАВА 2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ КОНСТРУКТИВНЫЙ АНАЛИЗ12. Окрестности, аппроксимации и конструктивные точкиОкрестности на вещественной прямой будут синтаксическими выражениями вида
есть окрестность. Окрестность Если В пространстве Кантора мы берем в качестве окрестностей все конечные цепочки знаков Окрестность в бэровском пространстве — это конечная последовательность натуральных чисел, В канторовском и бэровском пространствах любые две окрестности либо отделены, либо одна из них тоньше другой. Применяя терминологию Лакомба [1], мы будем называть рекурсивно перечислимое множество а окрестностей аппроксимацией, если оно удовлетворяет следующим двум условиям. Мы предпочитаем говорить, что I есть окрестность (аппроксимации) а, вместо того чтобы говорить, что I принадлежит рекурсивно перечислимому множеству а. 1 Если I тоньше 2 Если Окрестности погружаются в аппроксимации путем сопоставления окрестности I множества всех окрестностей Аппроксимации могут быть рекурсивно перечислены. Точнее, мы построим рекурсивно перечислимое отношение Доказательство для вещественной прямой. Аппроксимация — это по определению рекурсивно перечислимое множество слов в четырехбуквенном алфавите Итак, возьмем произвольное рекурсивно перечислимое множество слов в рассматриваемом алфавите и будем порождать его элементы
Аппроксимация а называется максимальной, если для любой пары окрестностей Пространства, введенные до сих пор, допускают естественное вычисление диаметров окрестностей. Обозначая диаметр окрестности I через
Аппроксимация максимальна тогда и только тогда, когда она содержит окрестности произвольно малого диаметра. Доказательство для вещественной прямой. Достаточность. Пусть Необходимость. Максимальная аппроксимация наверняка имеет хотя бы одну окрестность. Поэтому достаточно показать, что если а, Пусть а и б — две конструктивные точки. Введем следующие определения.
Мы покажем, что две конструктивные точки равны в смысле приведенного определения тогда и только тогда, когда они равны как рекурсивно перечислимые множества. Две конструктивные точки равны тогда и только тогда, когда они имеют одни и те же окрестности. Доказательство для канторовского и бэровского пространств. Необходимость. Допустим, что Под последовательностью аппроксимаций мы понимаем рекурсивно перечислимое Отношение А между натуральными числами и окрестностями, такое, что сечение А в Последовательность аппроксимаций
сходится к аппроксимации а, если для любой окрестности они обязательно равны. Последовательность аппроксимаций называется сходящейся, если мы - можем найти максимальную аппроксимацию, к которой она сходится. Мы будем говорить, что последовательность аппроксимаций
есть последовательность Коши, если для любых окрестностей Последовательность аппроксимаций сходится тогда и только тогда, когда она — последовательность Коши. Доказательство для канторовского и бэровского пространства. Необходимость этого условия очевидна, поэтому допустим, что
|
1 |
Оглавление
|