ГЛАВА 2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ КОНСТРУКТИВНЫЙ АНАЛИЗ

12. Окрестности, аппроксимации и конструктивные точки

Окрестности на вещественной прямой будут синтаксическими выражениями вида где а и рациональные числа, такие, что а (Арифметика и отношения порядка между рациональными числами разрешимы, и мы будем их использовать без дальнейших пояснений.) Например,

есть окрестность. Окрестность тоньше, чем окрестность если с отделены, если или

Если является окрестностью на вещественной прямой для то окрестность в -мерном евклидовом пространстве. тоньше, чем если для любого отделена от если отделена от для некоторого

В пространстве Кантора мы берем в качестве окрестностей все конечные цепочки знаков тоньше, чем ей если отделены, если для некоторого

Окрестность в бэровском пространстве — это конечная последовательность натуральных чисел, разделенных запятыми. Натуральное число I называется длиной этой окрестности. единственная окрестность, для которой Отношения и «быть тоньше» определяются в бэровском пространстве точно так же, как в канторовском.

В канторовском и бэровском пространствах любые две окрестности либо отделены, либо одна из них тоньше другой.

Применяя терминологию Лакомба [1], мы будем называть рекурсивно перечислимое множество а окрестностей аппроксимацией, если оно удовлетворяет следующим двум условиям. Мы предпочитаем говорить, что I есть окрестность (аппроксимации) а, вместо того чтобы говорить, что I принадлежит рекурсивно перечислимому множеству а.

1 Если I тоньше есть окрестность а, то есть окрестность а.

2 Если окрестности а, то мы можем найти окрестность а, которая тоньше

Окрестности погружаются в аппроксимации путем сопоставления окрестности I множества всех окрестностей таких, что I тоньше

Аппроксимации могут быть рекурсивно перечислены.

Точнее, мы построим рекурсивно перечислимое отношение между натуральными числами и окрестностями, такое, что для любого сечение числом есть - аппроксимация и любая аппроксимация может быть получена таким образом.

Доказательство для вещественной прямой. Аппроксимация — это по определению рекурсивно перечислимое множество слов в четырехбуквенном алфавите удовлетворяющее двум приведенным выше условиям. Мы уже построили рекурсивную нумерацию всех перечислимых множеств слов в этом алфавите. Таким образом, достаточно описать рекурсивную процедуру, превращающую любое такое множество в аппроксимацию и оставляющую неизменными те рекурсивно перечислимые множества, которые уже удовлетворяют этим двум условиям.

Итак, возьмем произвольное рекурсивно перечислимое множество слов в рассматриваемом алфавите и будем порождать его элементы в определенном порядке. Для любого натурального если все являются окрестностями и

непусто, то модифицированное множество должно содержать все окрестности такие, что I тоньше, чем Если модифицированное множество определено таким образом, то ясно, что оно — аппроксимация и что множество, которое уже удовлетворяет определяющим условиям для аппроксимации, не изменяется процедурой модификации. Доказательство закончено.

Аппроксимация а называется максимальной, если для любой пары окрестностей таких, что I тоньше либо I отделена от некоторой окрестности а, либо есть окрестность а. Максимальные аппроксимации образуют конструктивные точки рассматриваемого пространства.

Пространства, введенные до сих пор, допускают естественное вычисление диаметров окрестностей. Обозначая диаметр окрестности I через мы полагаем

Аппроксимация максимальна тогда и только тогда, когда она содержит окрестности произвольно малого диаметра.

Доказательство для вещественной прямой. Достаточность. Пусть тоньше Найдем окрестность рассматриваемой аппроксимации с диаметром, меньшим Она должна быть либо отделена от I, либо быть тоньше

Необходимость. Максимальная аппроксимация наверняка имеет хотя бы одну окрестность. Поэтому достаточно показать, что если такая окрестность, то такова же или (2а Во-первых, мы можем найти окрестность нашей аппроксимации, которая тоньше Затем мы можем применить условие максимальности к с, и

а, а также к Обе окрестности не могут быть отделены от некоторых окрестностей из аппроксимации, так как отсюда следовало бы то же для Следовательно, либо либо является окрестностью нашей аппроксимации.

Пусть а и б — две конструктивные точки. Введем следующие определения.

если любая окрестность а налегает на любую окрестность .

если можно найти окрестность а и окрестность 6, которые отделены.

Мы покажем, что две конструктивные точки равны в смысле приведенного определения тогда и только тогда, когда они равны как рекурсивно перечислимые множества.

Две конструктивные точки равны тогда и только тогда, когда они имеют одни и те же окрестности.

Доказательство для канторовского и бэровского пространств. Необходимость. Допустим, что и пусть окрестность а. Так как а — максимальная аппроксимация и не отделена от окрестности 6, то является в действительности окрестностью 6. По симметрии, любая окрестность 6 есть также окрестность а. Достаточность этого условия очевидна.

Под последовательностью аппроксимаций мы понимаем рекурсивно перечислимое Отношение А между натуральными числами и окрестностями, такое, что сечение А в есть аппроксимация (которую мы обозначим через для любого

Последовательность аппроксимаций

сходится к аппроксимации а, если для любой окрестности аппроксимации а мы можем найти настолько большое что есть окрестность для всех Любая последовательность аппроксимаций сходится к пустой аппроксимации. Если последовательность сходится к двум максимальным аппроксимациям, то

они обязательно равны. Последовательность аппроксимаций называется сходящейся, если мы - можем найти максимальную аппроксимацию, к которой она сходится.

Мы будем говорить, что последовательность аппроксимаций

есть последовательность Коши, если для любых окрестностей таких, что тоньше I, мы можем найти и доказать, либо что I есть окрестность для всех либо что отделена от некоторой окрестности, общей для всех при Так как мы провели диаметризацию окрестностей в рассматриваемых пространствах, определение последовательности Коши можно несколько упростить. Достаточно потребовать, чтобы для любого мы могли найти окрестность I и натуральное число такие, что и I есть окрестность для всех

Последовательность аппроксимаций сходится тогда и только тогда, когда она — последовательность Коши.

Доказательство для канторовского и бэровского пространства. Необходимость этого условия очевидна, поэтому допустим, что последовательность Коши. Это значит, что для любой окрестности мы можем найти и доказать, что либо I есть окрестность для всех либо I отделена от окрестности, общей всем для Пусть а состоит из всех окрестностей для которых решено, что имеет место первый случай. Тогда, как легко проверить, а — максимальная аппроксимация, к которой последовательность сходится.