ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ МЕРЫ

33. Продолжение меры и ее основные свойства

Рассмотрим канторовское пространство и сопоставим любой окрестности

меру Эта мера будет называться мерой Лебега. Более общо, мы можем рассмотреть любую общерекурсивную функцию которая сопоставляет любой окрестности I некоторое вычислимое вещественное число таким образом, что

С точностью до порядка слагаемых представление простого множества

однозначно, если мы потребуем, чтобы окрестности были дизъюнктны и минимально. Мера тогда однозначно определена, если положить

Очевидно, что

и что

для любого простого множества Далее, нетрудно доказать теорему сложения

для простых множеств

Мы скажем, что открытое множество ограничено вычислимым действительным числом если

для любого простого множества Заметим, что ввиду открытости содержащиеся в нем простые множества образуют рекурсивно перечислимое множество.

Следующая лемма, являющаяся простым следствием теоремы Гейне — Бореля о покрытиях, оказывается фундаментальной. Действительно, вне зависимости от рассматриваемого пространства основные теоремы переносятся без изменений, как только доказана эта лемма.

Если последовательность открытых множеств, ограниченных соответственно числами для всех то ограничено числом

Пусть простое множество По лемме Гейне —Бореля мы можем найти простые множества такие, что

Следовательно,

что и требовалось доказать.

Борелевское множество А измеримо, если для любого вычислимого действительного числа (разумеется, достаточно брать числа вида например) мы можем найти простое множество и открытое множество такие, что

и ограничено числом Мы покажем, что существует единственное вычислимое действительное

число называемое мерой множества А, со свойством

при любом выборе простого множества и открытого множества Действительно, предположим, что

где простые, а открытые множества ограничены соответственно числами . Тогда

так что

так как простое множество, ограничено числом согласно фундаментальной лемме. Это показывает существование и единственность

Только что введенная мера — это продолжение меры, введенной ранее только для простых множеств. Действительно, если А — простое множество, то мы можем положить так что ограничено числом Следовательно, новая мера множества А совпадает с его первоначальной мерой. В частности,

Далее,

для любого измеримого множества А, так как может быть сколь угодно хорошо аппроксимирована числами где простое множество, а выше отмечено, что

Если А — измеримое множество, то тоже измеримое и

Пусть дано произвольное вычислимое действительное число Так как А измеримо, можно

найти простое множество и открытое множество такое, что

и ограничено числом Тогда

и, так как простое и

мы получаем

что вместе с и произвольностью дает искомое соотношение

Если измеримые множества, то тоже измеримые и

Пусть произвольно. Так как измеримы, мы можем найти простые множества и открытые множества ограниченные числом такие, что

Тогда

где простые ограничено числом согласно фундаментальной лемме. Следовательно, измеримы и

Так как произвольно и теорема сложения верна для простых множеств она следует отсюда также и для измеримых множеств

Если рекурсивная последовательность дизъюнктных измеримых множеств и сходится, то измеримо и

Пусть произвольно. Для любого мы можем приблизить простым множеством таким образом, что

где открыто и ограничено числом Далее, так как по предположению сходится, мы можем найти столь большое что

Полагая

мы получаем

где простое, V — открытое, ограниченное числом

Это доказывает измеримость Теперь

где второе неравенство следует из и фундаментальной леммы. По предыдущей теореме

так что

и, так как выбор числа был произвольным, мы получаем искомое соотношение

Если -рекурсивная последовательность измеримых множеств сходится при то измеримо и

Это следствие получается применением предыдущей теоремы к последовательности

По двойственности мы видим, что следствие также справедливо, если повсюду заменить на

Если А — борелевское множество и

где измеримы и имеют одинаковую меру, то А измеримо и

Так как измеримо и то достаточно доказать, что борелевское подмножество любого множества меры нуль само имеет меру нуль. Это будет сделано в

Борелевское множество А измеримо тогда и только тогда, когда мы можем найти измеримое внешнее предельное множество В и измеримое внутреннее предельное множество С, такие, что

Достаточность немедленно следует из предыдущей теоремы. Обратно, предположим, что А измеримо. Тогда для любого мы можем найти простое множество такое, что

где открыто и ограничено числом Множества

являются соответственно внешним и внутренним предельным множеством и

откуда следует, что измеримы и имеют ту же меру, что и А.