34. Измеримые и неизмеримые открытые множества. Теорема Брауэра

По определению А есть непустое открытое множество, если

где рекурсивная последовательность окрестностей. Мы покажем, что А измеримо тогда и только тогда, когда сходится при и в этом случае

Пусть А измеримо, и пусть дано произвольное Тогда мы можем найти такое простое множество и такое открытое множество ограниченное числом что

Отсюда мы заключаем

так что теорема Гейне — Бореля позволяет нам найти столь большое что

Теперь простое множество следовательно,

что вместе с

дает

Это завершает доказательство необходимости условия, а достаточность следует из предыдущего пункта.

Брауэр [3] вводил измеримость открытого множества посредством вышеприведенного

условия. Мы получаем, что для открытых множеств его определение совпадает с нашим.

Теперь легко построить неизмеримое открытое множество. Пусть общерекурсивная функция, перечисляющая без повторений нерекурсивное множество натуральных чисел. Окрестности

дизъюнктны, так что

где мера Лебега. Как показано в правая часть равенства не сходится при следовательно,

— неизмеримое открытое множество.

Мы переходим к доказательству важной теоремы Брауэра [3] (содержащейся также в книге Гейтинга), не имеющей классического аналога.

Если А — измеримое множество, то для любого мы можем найти измеримое открытое множество В, дополнительно локализованное и такое, что

Для любой окрестности

мы можем решить, что имеет место

или

вычисляя с достаточной точностью. Ясно, что мы можем дать эффективную процедуру, которая

всегда выбирает один определенный из этих двух случаев. Пусть простое множество, являющееся объединением тех из окрестностей длины для которых мы остановились на первом случае. Мы покажем, что открытое множество

удовлетворяет условиям теоремы.

Пусть I — произвольная окрестность Тогда так что необходимо где обозначает длину Мы заключаем, что

Далее мы покажем, что В измеримо. Из определения мы видим, что

Так как ряд, общий член которого дается правой частью равенства, суммируем, мы заключаем из предыдущего пункта, что тем самым измеримо и

Мы покажем, наконец, что если I — окрестность длины то тогда и только тогда, когда Во Так как очевидным образом можно решить, верно ли это включение, отсюда следует, что В дополнительно локализовано. Возьмем производящие схемы, которые порождают окрестности всех и отметим их, скажем, символом В. Добавим новые схемы

Мы покажем, что если обе окрестности доказуемы в этой системе Поста, то это же верно для окрестности Это очевидно, если какая-либо из получена по одной из двух последних схем,

поэтому предположим, что окрестности из где обозначает длину Тогда обязательно

так что

что вынуждает I быть одной из окрестностей из Теперь означает, что доказуемо в приведенной выше системе Поста и тогда уже и где длина Это завершает доказательство.

Мы знаем, что непустота замкнутого множества, вообще говоря, недостаточна для того, чтобы оно содержало конструктивную точку. Однако, как отмечено Брауэром [3], из только что доказанной теоремы следует, что если замкнутое множество измеримо и имеет положительную меру, то мы можем найти в нем конструктивную точку. Это следствие было переоткрыто Крайзелем и Лакомбом [1], а также Заславским и Цейтиным [1].

По данному замкнутому множеству положительной меры мы можем найти содержащуюся в нем конструктивную точку.

Согласно предыдущей теореме, мы можем найти локализованное замкнутое измеримое подмножество данного множества, все еще имеющее положительную меру. Следовательно, оно непусто и, будучи локализованным, содержит конструктивную точку.

Теперь мы можем обсудить различие между брауэровским и принятым нами определением измеримости. Как уже отмечено, эти два определения эквивалентны, если мы ограничимся множествами, которые открыты или замкнуты. Однако для внутренних и внешних предельных множеств это уже не так.

Точечный вид А измерим, по Брауэру [3], если для любого мы можем найти простое множество и открытое измеримое множество такие, что и Если забыть, что мы предпочли понятие борелевского множества брауэровскому понятию вида, то единственная разница между

этими двумя определениями измеримости в том, что Брауэр требует, чтобы было измеримым и в то время как мы удовлетворяемся тем, что ограничено числом 8.

Рассмотрим построенное в внутреннее предельное множество которое содержит все конструктивные точки, хотя при любом множество ограничено числом относительно меры Лебега. Согласно нашему определению, А очевидным образом измеримо и Следовательно, если измеримое замкнутое подмножество множества А, то Допустим теперь, что измеримое открытое множество, такое, что Тогда содержит все конструктивные точки и мы можем заключить из теоремы Брауэра, что Это показывает, что А не может быть измеримо по Брауэру, так как точечный вид измерим в смысле Брауэра тогда и только тогда, когда для любого мы можем найти измеримые открытое и замкнутое множества соответственно, такие, что

Имеется несколько причин, по которым мы приняли более широкое определение измеримости, чем Брауэр. Прежде всего, проблема всегда состояла в нахождении непротиворечивого и возможно более широкого продолжения меры, определенной сначала лишь для простых множеств. Наше продолжение, хотя оно идет дальше брауэровского, не влечет отхода от конструктивной точки зрения. Во-вторых, тот факт, что наше определение позволяет нам построить внутреннее предельное множество меры нуль, содержащее все конструктивные точки, хотя оно и обеспокоит тех, чей континуум состоит только из конструктивных точек, находится в полном согласии с интуиционистской концепцией континуума как среды свободного становления. В-третьих, принятое определение дает нам возможность доказать новую теорему, которая может служить оправданием понятия случайной последовательности, задуманного фон Мизесом и разработанного Вальдом и Чёрчем (см. Чёрч [3]). Это будет показано в следующем пункте.