28. Открытые множества в бэровском пространстве

До сих пор мы еще не ввели отношений равенства и включения между открытыми множествами в бэровском пространстве. Чтобы сделать это, мы

определим сначала по трансфинитной индукции отношение: окрестность I заперта открытым множеством множество запирает в бэровском пространстве.

1 Если принадлежит то запирает

2 Если запирает для любого натурального числа то запирает

Введем следующие определения, в которых обозначают открытые множества в бэровском пространстве.

если В запирает любую окрестность, принадлежащую А.

если

Обозначим через X все бэровское пространство, т. е. множество всех конечных последовательностей целых чисел Из данного нами определения мы заключаем, что где открытое множество, тогда и только тогда, когда запирает пустую последовательность ?.

Пример. Пусть состоит из всех окрестностей для которых Согласно первому пункту, запирает запирает для любого так что по второму пункту запирает Снова по первому пункту запирает для любых , откуда второй пункт позволяет нам заключить, что запирает для любого а затем, что запирает Продолжая тем же способом, мы доказываем, что запирает для любого Следовательно, по второму пункту запирает так что

В определении открытого подмножества бэровского пространства мы могли бы потребовать, чтобы рекурсивно перечислимое множество было разрешимым. Это не привело бы к ограничению общности.

Пусть А — открытое множество в бэровском пространстве. Тогда для открытого множества В, которое, если его рассматривать как рекурсивно речислимое множество, разрешимо и содержится в А.

Если номер доказательства в постовской системе А, то В будет содержать все окрестности

более тонкие, чем для которых Для, любой окрестности I можно решить, принадлежит ли она В, проверяя, является ли I более тонкой, чем одна из окрестностей, принадлежащих А и имеющих доказательство с номером где Следовательно, рекурсивно перечислимое множество В содержится в рекурсивно перечислимом множестве А. С другой стороны, наша конструкция такова, что В запирает любую окрестность из А, откуда что и требовалось доказать.

Напомним, что в определении открытого множества в канторовом пространстве мы требовали не только того, чтобы принадлежали вместе с но и обратного соотношения. Мы всегда можем достичь этого, отмечая производящие схемы и добавляя новые схемы:

В бэровском пространстве это не срабатывает, так как схема, соответствующая последней из только что приведенных, должна была бы иметь бесконечное множество посылок. Следующий пример, приведенный Клини [4], показывает, что мы действительно существенно ограничили бы общность, потребовав, чтобы окрестность I принадлежала открытому множеству в бэровском пространстве, если принадлежит для всех

Пусть А — открытое множество, состоящее из всех окрестностей таких, что не является номером доказательства в диагональном множестве Допустим, что где В обладает свойством: если для всех окрестность принадлежит В, то принадлежит В. Тогда тогда и только тогда, когда принадлежит В. Так как последнее отношение рекурсивно перечислимо, это противоречит неразрешимости

Брауэр работал с понятием свободно становящейся последовательности (choice sequence) натуральных чисел

последовательные элементы которой определяются произвольным образом, путем свободного выбора, а не обязательно математическим законом. Бесконечно продолжающаяся последовательность принадлежит по определению открытому множеству В в бэровском пространстве, если для некоторого I ее начальный отрезок есть окрестность из Примем на минуту понятие бесконечно продолжающейся последовательности. В дополнение к данному выше определению запирает мы получаем другое определение, потребовав, чтобы все бесконечно продолжающиеся последовательности принадлежали Эквивалентность этих двух определений составляет содержание брауэровской бар теоремы. Разумеется, она имеет лишь интуитивный смысл, если не принято понятие бесконечно продолжающейся последовательности. Бар теорема и теорема о веерах из следующего пункта весьма тщательно обсуждены Клини и Весли [1].