ГЛАВА 3. ОРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И БОРЕЛЕВСКИЕ МНОЖЕСТВА

25. Определение ординалов второго числового класса

Канторовская теория ординальных чисел второго числового класса получила конструктивное обоснование с использованием рекурсивных функций в работах Черча и Клини [1], Черча [2] и Клини [1]. Другой подход принадлежит Марквальду и Спектору [1], который ввел так называемые рекурсивные вполне упорядочения. Мы будем ближе следовать изложению Брауэра [2] и [10].

Ординалы в нашем смысле можно изобразить как фундированные деревья, ветви которых, исходящие из данной точки, нумеруются натуральными числами в нужном количестве. См. рис. 6. Из каждой точки ветвлений может исходить конечное или бесконечное число ветвей. Точка ветвления, из которой не исходит ветвей, называется вершиной. Фундированность дерева означает, что, как бы мы ни взбирались вверх по дереву, мы доберемся до вершины за конечное число шагов.

Формально мы определяем ординальное число второго числового класса как рекурсивно перечислимое множество а конечных последовательностей натуральных чисел, которое может быть получено повторными применениями следующего индуктивного пункта.

Если (возможно, пустая или конечная) — рекурсивно перечислимая последовательность ординальных чисел, то рекурсивно перечислимое множество а, элементами которого являются и множество всех таких, что принадлежит ординальное число.

Если последовательность пуста, подразумевается, что условие этого индуктивного определения выполнено тривиально, так что рекурсивно перечислимое множество, состоящее только из , является ординальным числом, называемым нулем и обозначаемым через 0.

Рис. 6.

Ординальное число а, получаемое применением индуктивного пункта к последовательности ординалов называется супремумом этой последовательности, и мы пишем

Если это единственный ординал, то а называется также наследником (или непосредственно следующим за) а. Используя стандартную запись, мы

вводим последовательно

Индуктивный пункт, определяющий ординальные числа, разрешает нам получать из бесконечного числа посылок

ординальное число для любого

заключение

ординальное число.

Мы выражаем это, говоря, что задано определение по трансфинитной индукции.

Если мы можем доказать, что ординальное число обладает некоторым свойством, как только обладает этим свойством для любого

1, то мы разрешаем себе заключить отсюда, что все ординалы второго числового класса также обладают этим свойством. На такое рассуждение мы будем ссылаться как на доказательство по (с помощью) трансфинитной индукции.

Мы будем говорить, что точка ветвления (узел) ординального числа а, вместо того

чтобы говорить, что принадлежит рекурсивно перечислимому множеству а. Верхний узел—? это такой узел, никакое собственное продолжение которого не принадлежит а.

Если узел ординального числа а, то множество всех таких, что также есть узел а, называется подординалом порядка ординала а и будет обозначаться через

(Брауэр [2] применял название konstruktive Unter-species Мег Ordnung).

Траисфинитной индукцией с использованием соотношения

доказывается, что подординал действительно является ординалом.