16. Последовательность Шпеккера

Шпеккер [1949] построил пример, показывающий, что теорема о монотонной сходимости ложна при конструктивной интерпретации.

Существует рекурсивная последовательность рациональных чисел

которая не сходится.

Пусть общерекурсивная функция, перечисляющая без повторений диагональное множество Полагая

мы, очевидно, имеем

Допустим, что сходится при Это значит, что мы нашли общерекурсивную функцию такую, что

Это последнее соотношение влечет за собой для Следовательно, тогда и только тогда, когда для некоторого

Таким образом, мы имели бы разрешающую процедуру для что невозможно. Эта конструкция принадлежит Райсу [1].

Ограниченная монотонная последовательность вычислимых вещественных чисел, которая не сходится, будет называться шпеккеровой последовательностью.

Конструктивная точка а называется точкой сгущения последовательности конструктивных точек если для любой окрестности точки а и любого натурального мы можем найти такое, что есть окрестность

Последовательность Шпеккера доставляет нам также контрпример к теореме Больцано — Вейерштрасса. Действительно, если бы мы могли найти точку сгущения шпеккеровой последовательности, то эта последовательность обязательно сходилась бы к ней, что невозможно.