19. Локализованные замкнутые множества

Пусть открытое множество в канторовом пространстве. Мы скажем, что замкнутое множество локализовано и что дополнительно локализовано, если мы можем решить для любой окрестности I, верно ли, что I принадлежит

Для евклидова пространства определение лишь технически сложнее. локализовано, если мы можем найти рекурсивно перечислимое множество окрестностей которое дизъюнктно с и таково, что для любой пары окрестностей если I тоньше то либо I принадлежит либо принадлежит Без ограничения общности можно считать, что удовлетворяет следующим двум условиям, двойственным условиям, определяющим открытое, множество.

1 Если I тоньше принадлежит то принадлежит

2 Если I принадлежит то мы можем найти в окрестность более тонкую, чем

Наконец, замкнутое множество в бэровском пространстве локализовано, если мы можем найти рекурсивно перечислимое множество окрестностей дизъюнктное с и такое, что любая окрестность принадлежит либо либо и если I принадлежит

то мы можем найти натуральное число такое, что также принадлежит Локализованное замкнутое множество в бэровском пространстве определяет закон потока в терминологии Гейтинга [1]. Элементы называются соответственно допустимыми и недопустимыми относительно закона потока.

Если замкнутое локализованное множество непусто, то мы можем найти в нем конструктивную точку.

Доказательство для канторовского пространства. Локализованность означает разрешимость Пусть множество всех окрестностей, не принадлежащих Сначала мы можем найти или так как если бы и принадлежали то тоже принадлежала бы было бы пусто. Тем же рассуждением мы можем определить такое, что принадлежит и так далее. Таким образом, мы последовательно определяем знаки некоторой конструктивной точки в

Объединение двух локализованных множеств локализовано.

Мы должны доказать, что пересечение двух дополнительно локализованных открытых множеств снова дополнительно локализовано. Это непосредственно очевидно в канторовом пространстве, например, ввиду того что пересечение двух открытых множеств — это просто пересечение этих двух открытых множеств, рассматриваемых как рекурсивно перечислимые множества, а пересечение двух разрешимых множеств разрешимо.

Существуют два локализованных множества, пересечение которых не локализовано.

Положим или 1 в зависимости от того, является ли номером доказательства в диагональном множестве и определим следующую последовательность вычислимых вещественных чисел:

Для любого пусть есть открытый интервал от до открытый интервал от до Легко проверить, что два открытых множества

дополнительно локализованные. Допустим теперь, что дополнительно локализованное. Тогда мы можем для любого доказать либо

принадлежит

либо

принадлежит

где то рекурсивно перечислимое множество окрестностей, которое фигурирует в определении локализованности. Но если принадлежит то а если принадлежит то так что было бы разрешимо. Мы достигли противоречия.

Две последние теоремы в применении к бэровскому пространству объясняют, почему, как утверждал Брауэр [2] и объединение двух потоков (Меп-gen) есть снова поток, в то время как пересечение двух потоков — не обязательно поток.

Понятие локализованности замкнутого множества (katalogisiertes Bereichkomplement) и дополнительно локализованного открытого множества (komple-mentar katalogisierter Bereich) принадлежат Брауэру [3]. Брауэр [2]. и [7] ввел также понятие Gebiet, но трудно усмотреть различие между понятием Gebiet и понятием дополнительно локализованного открытого множества. Сам Брауэр [3] считал, что Gebiet всегда есть дополнительно локализованное открытое множество, но не утверждал обратное.