20. Внутренние и внешние предельные множества

Если последовательность открытых множеств, то

есть внутреннее предельное множество (innere Grenz-species в терминологии Брауэра [3]), и

есть внешнее предельное множество (aussere Grenz-species). В данный момент мы должны удовольствоваться рассмотрением и как чисто символических выражений, поскольку экстенсиональная интерпретация внутренних и внешних предельных множеств требует трансфинитной индукции.

Открытые множества можно тривиально погрузить во внутренние предельные множества, сопоставляя открытому множеству внутреннее предельное множество где для всех Аналогично замкнутые множества погружаются во внешние предельные множества. Пусть перечисление окрестностей открытого множества Тогда можно отождествить с внешним предельным множеством где объединение всех окрестностей., отделенных от можно отождествить с

Внутренние (внешние) предельные множества очевидным образом замкнуты относительно счетных (конечных) пересечений и конечных (счетных) объединений.

где а — конструктивная точка, если для любого мы можем найти окрестность а, которая принадлежит

Крайзель и Лакомб [1], а также Заславский и Цейтин [1] дали пример внутреннего предельного множества, показывающий, грубо говоря, что конструктивные точки континуума могут быть покрыты произвольно малым открытым множеством. Конструкция похожа на хорошо известное доказательство того, что множество рациональных чисел имеет лебегову меру 0. Но в то время, как рациональные числа могут быть рекурсивно перечислены, это неверно для конструктивных точек. Для доказательства достаточно того, что имеется рекурсивное перечисление аппроксимаций.

Существует внутреннее предельное множество в канторовском пространстве, которое содержит все конструктивные точки и обладает тем свойством, что мера объединения любого конечного числа окрестностей из меньше

Под мерой здесь имеется в виду обычная лебегова мера, которая сопоставляет любой окрестности

мы построили рекурсивную нумерацию всех аппроксимаций

Пусть есть объединение всех окрестностей таких, что окрестность для некоторого Конструктивная точкам это аппроксимация, имеющая окрестности произвольно малого диаметра, следовательно, конструктивная точка должна обязательно принадлежать для всех . Кроме того, объединение любого конечного числа окрестностей из имеет меру

Это завершает доказательство.

Открытое множество содержит все конструктивные точки. С другой стороны, не равно X, всему пространству. Действительно, из следовало бы по лемме Гейне — Бореля, что уже конечное число окрестностей, объединением которых является покрывало бы Это противоречит тому факту, что мера объединения любого конечного числа окрестностей из меньше 1. Мы доказали следующую теорему, принадлежащую Клини [2].

Существует открытое множество содержащее все конструктивные точки, и двойственным образом замкнутое множество не содержащее ни одной конструктивной точки.

В качестве побочного результата мы получаем пример замкнутого множества, которое не локализовано. Действительно, если бы замкнутое множество упоминаемое в теореме, было локализовано, То мы могли бы найти в нем конструктивную точку.

В классической математике континуум воспринимается как совокупность своих точек. Поэтому можно было бы попытаться, как Марков и его школа, конструктивизировать теорию континуума, рассматривая его как совокупность его конструктивных точек. Это ведет, как показывает теорема Клини, к теории, радикально отличной от теории Брауэра.