13. Парадокс Ришара и иеперечислимость континуума

Рассмотрим вещественные числа, которые могут быть определены конечным множеством слов русского языка. Определение такого числа — это цепочка

букв из алфавита

содержащего около пятидесяти букв. Все такие цепочки могут быть перечислены одна за другой, например, в лексикографическом порядке. Удалим из этого списка каждую цепочку, не являющуюся осмысленным предложением русского языка, определяющим вещественное число. Пусть обозначают числа, определяемые остающимися предложениями, взятыми в том порядке, в котором они стоят. Каждое из них может быть разложено в десятичную дробь

Теперь положим

и определим вещественное число а разложением

Это число было определено конечным числом слов, а именно теми словами из этого пункта, которые были до сих пор написаны. Тем не менее оно не содержится в приведенной выше нумерации всех чисел, определимых конечным множеством слов. Это парадокс Ришара [1].

Этот парадокс был частично объяснен самим Ришаром, который заметил, что определение критического числа а носит непредикативный характер. Действительно, определяя а конечным числом слов, мы

ссылаемся на совокупность всех чисел, определимых конечным числом слов. Более глубокий анализ был дан Борелем [1]. Он указал, что процесс выбрасывания тех цепочек символов, которые не определяют вещественных чисел, не может быть проведен эффективно и множество всех вещественных чисел, определимых конечным числом слов, не является эффективно перечислимым, хотя оно и счетно в теоретико-множественном смысле, будучи подмножеством счетного множества всех слов в конечном алфавите. Этот пример показывает, как заметил Борель, что классическая теорема о счетности подмножества счетного множества не имеет места, если счетность заменить эффективной перечислимостью.

Мы сейчас используем рассуждение из парадокса Ришара для доказательства того, что конструктивные точки континуума не могут быть эффективно перечислены. Это конструктивная версия знаменитой теоремы Кантора.

Если дана последовательность конструктивных точек мы можем найти конструктивную точку а, такую, что а для всех

Допустим, что

- последовательность конструктивных точек канторовского пространства. Полагая мы получаем конструктивную точку

которая отличается от для всех

В бэровском пространстве для данной последовательности конструктивных точек

мы строим новую точку

где

Наконец допустим, что дана последовательность конструктивных точек на вещественной прямой. Пусть окрестность и выберем отделенную от такую, что Допустим, что уже определена Найдем окрестность точки а затем более тонкую, чем и такую, что отделена от Последовательность сходится к конструктивной точке а, которая обладает искомым свойством а для всех Для многомерного евклидова пространства доказательство то же самое.