21. Теорема Бэра о (множествах первой) категории

Открытое множество плотно, если для любой окрестности мы можем найти более тонкую окрестность I, принадлежащую Внутреннее предельное множество плотно, если плотно при любом

Пусть плотное внутреннее предельное множество. Тогда любая окрестность содержит конструктивную точку, принадлежащую

Классическое доказательство уже конструктивно и не требует модификации. Пусть произвольная окрестность. Так как плотно, мы можем найти в , которая тоньше и удовлетворяет Допустим теперь, что уже определены, Так как плотно, мы можем найти которая тоньше и удовлетворяет Последовательность сходится к конструктивной точке а, которая принадлежит при любом Кроме того, I есть окрестность а.

Приведенное доказательство напоминает доказательство неперечислимости конструктивных точек, и

действительно, последний результат — простое следствие теоремы о категории. Точнее, пусть

— вычислимая последовательность конструктивных точек, и для любого удалим из всего пространства точку получая таким образом открытое и плотное множество По теореме Бэра, в любой окрестности мы можем найти конструктивную точку что и означает в точности а для всех

Другое применение таково. Пусть внутреннее предельное множество на вещественной прямой, содержащее все рациональные точки. Тогда в любой окрестности мы можем найти иррациональное вычислимое вещественное число Чтобы установить это, зафиксируем нумерацию рациональных чисел

и пусть получится из выбрасыванием точки все еще открыто и плотно при поэтому в силу теоремы Бэра мы находим в любой окрестности вычислимое вещественное число Очевидно, что а иррационально и принадлежит