Подмножества.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В.

Если А есть подмножество множества В, то говорят также, что А содержится в В, и пишут . Символ с: называется знаком включения. Согласно определению,

Множество А называется собственным подмножеством множества В, если . Запись означает, что А является собственным подмножеством множества В.

Отметим свойства отношения включения, легко следующие из определения:

отношение включения рефлексивно, т. е. для каждого множества А;

отношение включения транзитивно, т. е. для любых множеств А, В, С из следует ;

отношение включения антисимметрична, т. е. для любых множеств А, В, С из следует

Из свойства следует, что для доказательства равенства множеств А и В достаточно доказать, что и , т. е.

В теории множеств принимается следующий принцип выделения подмножеств данного множества с помощью одноместных предикатов: для любого множества А и одноместного предиката имеющего смысл для всех элементов множества А (т. е. такого, что для любого из ) либо истинно, либо ложно), существует множество, состоящее в точности из тех элементов множества А, для которых истинно.

Это множество обозначают так:

или, короче, . Последняя запись читается так: «множествотаких х из А, что истинно» или «множество таких х из A, что верно . Иногда для обозначения этого же множества используется и такая запись:

Если два одноместных предиката равносильны, то согласно определению равенства множеств они определяют одно и то же подмножество множества А, т. е. из равносильности следует равенство