4. Определение производной и ее механический смысл
Определение. Производной функции 
в точке 
называется предел отношения приращения функции 
в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента 
при произвольном стремлении 
к нулю.
Производная функция 
в точке 
обозначается символом 
Итак, по определению,
или
Для одной и той же функции 
производная в различных точках 
может принимать различные значения. Другими словами, производную можно рассматривать как функцию аргумента 
Эта функция называется производной от функции 
и обозначается 
(читается: 
штрих от 
).
Таким образом, производная функции 
в точке 
является значением функции 
в точке 
Наряду с обозначением 
для производной функции употребляются и другие обозначения, например: 
Пример 1. Найти производную функции 
Решение. Находим приращение функции 
:
Пользуясь определением производной и считая 
фиксированным, получим
Таким образом, производная функции 
равна 
. Эта производная определена на всей числовой оси, так как при ее нахождении значение 
было выбрано произвольно.
Пример 2. Найти производную функции 
в точке 
Решение. Подставляя в общее выражение для производной данной функции вместо 
число 2, получим
Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.
Возвращаясь к задачам, рассмотренным в п. 3, легко заметить, что каждый из пределов, которые там были получены, есть производная.
В первой задаче
т. е. скорость v прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути s по времени 
В этом заключается механический смысл производной.
Во второй задаче
т. е. плотность 
в точке 
прямолинейного стержня есть производная от массы 
по длине 
