4. Определение производной и ее механический смысл

Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента при произвольном стремлении к нулю.

Производная функция в точке обозначается символом

Итак, по определению,

или

Для одной и той же функции производная в различных точках может принимать различные значения. Другими словами, производную можно рассматривать как функцию аргумента Эта функция называется производной от функции и обозначается (читается: штрих от ).

Таким образом, производная функции в точке является значением функции в точке

Наряду с обозначением для производной функции употребляются и другие обозначения, например:

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Находим приращение функции :

Пользуясь определением производной и считая фиксированным, получим

Таким образом, производная функции равна . Эта производная определена на всей числовой оси, так как при ее нахождении значение было выбрано произвольно.

Пример 2. Найти производную функции в точке

Решение. Подставляя в общее выражение для производной данной функции вместо число 2, получим

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Возвращаясь к задачам, рассмотренным в п. 3, легко заметить, что каждый из пределов, которые там были получены, есть производная.

В первой задаче

т. е. скорость v прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути s по времени

В этом заключается механический смысл производной.

Во второй задаче

т. е. плотность в точке прямолинейного стержня есть производная от массы по длине