ГЛАВА XXI. МАТРИЦЫ. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМ И РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Линейные преобразования. Матрица
Рассмотрим две плоскости Р и Q. Пусть в плоскости Р задана прямоугольная система координат 
и в плоскости 
-система координат 
Плоскости Р и Q могут совмещаться. Также могут совмещаться и системы координат. Рассмотрим систему уравнений
На основании равенств (1) каждой точке 
плоскости 
соответствует точка 
плоскости 
Говорят, что уравнения (1) определяют линейные преобразования координат, отображающие плоскость 
на плоскость 
обязательно на всю плоскость). Так как уравнения (1) линейные, то отображение называется линейным отображением.
Если в плоскости 
мы рассмотрим некоторую область 
то с помощью равенств (1) определяется некоторая совокупность точек 31 плоскости 
(рис. 450).
Рис. 450.
Замечание. Отметим, что рассматривают и нелинейные отображения 
Мы ограничимся здесь рассмотрением только линейных отображений.
Отображение (1) полностью определяется совокупностью коэффициентов 
Прямоугольная таблица, составленная из этих коэффициентов, записанная так:
называется матрицей отображения (1). Символы 
или 
суть символы матрицы.
Матрицы обозначают и одной буквой, например А или
Определитель, составленный из элементов матрицы без их перестановки (обозначим его 
),
называется определителем матрицы.
Пример 1. Отображение
есть поворот на угол а. При этом отображении каждая точка М с полярными координатами (р; 0) переходит в точку М с полярными координатами (р; 
), если системы координат 
совмещены (рис. 451).
Рис. 451.
Рис. 452,
Матрица этого отображения
Пример 2. Отображение
есть растяжение вдоль оси 
с коэффициентом растяжения k (рис. 452). Матрица этого отображения
Пример 3. Отображение
есть растяжение в k раз как в направлении оси 
так в направлении оси 
(рис. 453).
Матрица этого отображения
Пример 4. Преобразование
называется зеркальным отражением от оси 
(рис. 454).
Рис. 453
Матрица рассматриваемого преобразования имеет следующий вида
Пример 5. Преобразование
называется сдвигом вдоль оси 
(рис. 455).
Рис. 454,
Рис. 455.
Матрица этого преобразования
Можно рассматривать линейное преобразование с любым числом переменных.
Так, преобразование
есть отображение трехмерного пространства 
в трехмерное пространство 
Матрицей этого преобразования будет
Можно рассматривать линейные преобразования с неквадратной матрицей, т. е. такой матрицей, где число строк не равняется числу столбцов. Так, преобразование
является отображением плоскости 
в некоторую совокупность точек в пространстве 
Матрицей этого преобразования будет
Рассматривают матрицы с любым числом строк и любым числом столбцов. Матрицы используются не только при линейных преобразованиях, но и в других разделах. Поэтому матрица является самостоятельным математическим понятием, аналогичным понятию определителя. Ниже сформулируем несколько определений, связанных с понятием матрицы.
