§ 10. Виды функций

78. Постоянная функция.

Постоянной называется функция, заданная формулой , где b — некоторое число.

Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку на оси ординат. На рисунке 14 изображены графики нескольких постоянных функций. В частности, графиком функции является ось абсцисс.

79. Прямая пропорциональность.

Прямой пропорциональностью называется функция, заданная формулой где

. Число называется коэффициентом пропорциональности.

Перечислим свойства функции .

1) Область определения функции — множество всех действительных чисел.

2) - нечетная функция

3) При функция возрастает, а при убывает на всей числовой прямой.

Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.

Доказательство

Проведем прямую через начало координат и точку А (1; k) и докажем, что она является графиком функции

Рассмотрим сначала случай, когда

Возьмем любую точку лежащую на прямой J. Из подобия треугольников заключаем, что откуда . Возьмем теперь точку не лежащую на прямой l. Тогда координаты точки с той же абсциссой, но лежащей на прямой l, удовлетворяют уравнению значит, координаты точки Р этому уравнению не удовлетворяют. Итак, точки прямой l, и Только они, удовлетворяют формуле значит, прямая l — график функции

Рассмотрим теперь случай, когда Возьмем две функции При одной и той же абсциссе ординаты графиков этих функций равны по модулю, но противоположны по знаку. Значит, графики зтих функций симметричны относительно оси абсцисс. Но и по доказанному выше графиком функции является прямая. Поскольку при преобразовании симметрии прямая переходит в прямую, то и графитом функции является прямая.

На рисунке 16, а изображен график функции при а на рисунке 16, б — график функции при

Пример. Построить график функции

Решение. Мы знаем, что графиком является прямая, проходящая через начало координат. Для ее построения достаточно найти одну точку графика, отличную от начала координат, и провести прямую через начало координат и найденную точку В качестве такой точки выберем точку то График функции изображен на рисунке 16, е.

80. Линейная функция.

Линейной функцией называется такая функция, которая задана формулой где k и Ь — действительные числа. Если, в частности, то получаем постоянную функцию если то получаем прямую пропорциональность

Перечислим свойства линейной функции при

1) Область определения функции — множество всех действительных чисел.

2) Функция ни четна, ни нечетна.

3) При функция возрастает, а при убывает на всей числовой прямой.

Графиком линейной функции является прямая.

Доказательство

Если то получаем постоянную функцию ее графиком является пряная, параллельная оси х (см. п. 78).

Если то получаем прямую пропорциональность ее графиком по теореме 3.1 является прямая, проходящая через начало координат (см. п. 79).

Пусть Если точка принадлежит графику функции т. е. выполняется равенство то точка принадлежит графику функции y = kx + b (т. е. выполняется равенство . Но преобразование фигуры F, при котором пронзвольнал ее точка переходит в точку является нараллельным переносом (см. п. 112), а при параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую.

Итак, графиком функции является прямая, параллельная графику прямой пропорциональности

На рисунке 17 изображен график функции Это прямая, параллельная прямой, служащей графиком функции и проходящая через точку (0; b) на оси ординат.

Число к называется угловым коэффициентом прямой, оно равно тангенсу угла а между прямой и положительным лучом оси х, т. е. k = tg а.

Пример. Построить график функции

Решение. Графиком линейной функции является прямая, а для построения прямой достаточно знать две точки графика. Заполним таблицу:

(аргументу х дали значения 0 и 4 и по формуле нашли соответствующие значения Отметим на координатной плоскости точки и (4; 2) и проведем через эти точки прямую (рис. 18).

81. Взаимное расположение графиков линейных функций.

Пусть даны две линейные функции Их графиками служат прямые (см. п. 80). Эти прямые пересекаются, если а). Прямые параллельны, если Последний случай, в свою очередь, можно разбить на два: если то прямые совпадают; если то прямые параллельны и не совпадают (рис. 19, б).

82. Обратная пропорциональность.

Обратной пропорциональностью называют функцию, заданную формулой где Число к называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Перечислим свойства функции

1) Область определения — множество всех действительных чисел, кроме нуля.

2) - нечетная функция (поскольку

3) Если то функция убывает на промежутке и на промежутке Если функции возрастает на промежутке и на промежутке

Построим график функции Сначала построим ветвь

графика на промежутке Составим таблицу значений функции:

Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой (рис. 20, а). Это и будет ветвь графика функции на промежутке

Воспользовавшись нечетностью функции добавим; к построенной ветви ветвь, симметричную ей относительно начала координат. Получим график функции (рис. 20, б).

Аналогичный вид имеет график функции при любом положительном . На рисунке 21 изображен график функции .

Если 0, то ветви графика обратной пропорциональности расположены не в I и III координатных четвертях, как в случае, когда а во II и IV. На рисунке 22 изображены графики функций

График обратной пропорциональности называют гиперболой.

83. Функция у=х^2.

Перечислим свойства функции

1) Область определения функции — вся числовая прямая,

2) - четная функция

3) На промежутке функция возрастает.

В самом деле, если то а это и означает возрастание функции (см. п. 77).

4) На промежутке функция убывает.

В самом деле, если то потому а это и означает убывание функции (см. п. 77).

Графиком функции является парабола (см. п. 73). Этот график изображен на рисунке 9.

84. Функция у=х^3.

Перечислим свойства функции

1) Область определения функции — вся числовая прямая.

2) - нечетная функция

3) Функция возрастает на всей числовой прямой.

График функции изображен на рисунке 23. Он называется кубической параболой.

85. Степенная функция с натуральным показателем.

Функция , где — натуральное число, называется степенной функцией с натуральным показателем. При получаем

функцию ее свойства рассмотрены в п. 79, а график (прямая) изображен на рисунке 8. При получаем функцию ее свойства рассмотрены в п. 83, а график (парабола) изображен на рисунке 9. При получаем функцию ее свойства рассмотрены в п. 84, а график (кубическая парабола) изображен на рисунке 23.

Пусть — произвольное четное натуральное число, большее двух; . В этом случае функция обладает теми же свойствами, что и функция График такой функции напоминает параболу только ветви графика при тем круче идут вверх, чем больше , а при тем «теснее прижимаются» к оси X, чем больше (рис. 24).

Пусть — произвольное нечетное число, большее трех: . В этом случае функция обладает теми же свойствами, что и функция График такой функции напоминает кубическую параболу (только ветви графика тем круче идут вверх, вниз, чем больше ) (рис. 25). Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной функции тем медленнее отдаляется от оси с ростом чем больше n.

86. Степенная функция с целым отрицательным показателем.

Рассмотрим функцию где — натуральное число. При получаем или Свойства этой функции рассмотрены в п. 82, а ее график (гипербола) изображен на рисунке 20, б.

Пусть — нечетное число, большее единицы, . В этом случае функция обладает в основном теми же свойствами, что и функция График функции

напоминает график функции ).

Пусть — четное число, например Перечислим некоторые свойства функции т. е. функции

1) Функция определена при всех

2) - четная функция.

3) убывает на и возрастает на

Теми же свойствами обладают любые функция вида при четном , большем двух.

График функции изображен на рисунке 26,6. Аналогичный вид имеет график функции если

87. Функция y=sqrt(x).

Перечислим свойства функции

1) Область определения — луч Это следует из того, что выражение определено лишь при

2) Функция ни четна, ни нечетна.

3) Функция возрастает на луче

В самом деле, пусть . Докажем, что тогда Предположим противное, т. е. что Тогда свойство числовых неравенств, п. 24), т. е. а это противоречит условию. Значит, наше предположение неверно, а верным является неравенство .

Для построения графика составим таблицу значений функции:

Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой. Получим график функции .

88. Функция ...

Перечислим свойства функции

1) Область определения функции — вся числовая прямая.

2) Функция нечетна, так как

3) Функция возрастает на всей числовой прямой.

Для построения ветви графика при составим таблицу значений функции

Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой; затем к построенной ветви добавим ветвь, симметричную ей относительно начала координат. Получим график функции б).

89. Функция ...

При четном функция обладает теми же свойствами, что и функция (см. п. 87), и график ее напоминает график функции (рис. 28, а). При нечетном функция обладает теми же свойствами, что и функция (см. п. 88), и график ее напоминает график функции

90. Степенная функция с положительным дробным показателем.

Рассмотрим функцию где r — положительная несократимая дробь. Перечислим некоторые свойства этой функции.

1) Область определения — луч

2) Функция ни четная, ни нечетная.

3) Функция возрастает на

На рисунке 29, а изображен график функции Он заключен между графиками функций заданных на промежутке

Подобный вид имеет график любой функции вида где

На рисунке 29, б изображен график функции Подобный вид имеет график любой степенной функции где

91. Степенная функция с отрицательным дробным показателем.

Рассмотрим функцию где г — положительная несократимая дробь. Перечислим свойства этой функции.

1) Область определения — промежуток .

2) Функция ни четная, ни нечетная.

3) Функция убывает на .

Построим для примера график функции Составим таблицу значений функции:

Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой (рис. 29, в). Подобный вид имеет график любой функции где — отрицательная дробь.

92. Функция y = |x|.

Построим график функции (см. п. 31). Если то если то если и т. д. График функции изображен на рисунке 30.

93. Функция ...

Построим график функции (см. п. 31). Заметим, что поэтому достаточно сначала построить ветвь графика на любом промежутке длиной 1, например на [0; 1). Если то , а потому .

На рисунке 31, а изображен график функции на

промежутке [0; 1), а на рисунке 31, б изображен график функции на всей числовой прямой.

94. Показательная функция.

Показательная функция задается формулой где

Перечислим свойства функции при

1) Область определения функции — вся числовая прямая.

2) Область значений функции — промежуток

3) Функция не является ни четной, ни нечетной. Это следует из того, что

4) Функция возрастает на всей числовой прямой.

График функции при выглядит так, как показано на рисунке 32, а. Отметим, что эта функция принимает любые положительные значения.

Пример 1. Построить график функции

Решение. Составим таблицу:

С помощью найденных точек строим график функции (рис. 32, б).

Свойства функции при

1) Область определения функции — вся числовая прямая.

2) Область значений

3) Функция не является ни четной, ни нечетной.

4) Функция убывает на всей числовой прямой.

График функции при выглядит так, как показано на рисунке 33, а. Отметим, что эта функция принимает любые положительные значения.

Пример 2. Построить график функции у Решение. Составим таблицу:

С помощью найденных точек строим график функции (рис. 33, б).