Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 4.21. Непрерывная и гладкая кривая
Уравнения
,
(1)
где
и
- непрерывные функции на
, определяют непрерывную
кривую, заданную при помощи параметра
, т. е. геометрическое место точек
, упорядоченных при
помощи параметра
.
При возрастании
точка
движется
по плоскости. Не исключено, что разным
- соответствует одна и та же точка
плоскости:
.
Непрерывная
кривая (1) называется гладкой на
, если функции
и
имеют непрерывную
производную на 
, и выполняется
неравенство
. (2)
Обозначим кривую (1) через
. Пусть
. В силу условия (2)
одно из чисел
,
отлично
от нуля. Пусть для опреленности
. Но тогда в силу непрерывности
существует интервал
, на
котором
сохраняет
знак
.
Следовательно,
строго
монотонна на
и,
кроме того, как мы знаем, непрерывно дифференцируема. В таком случае функция
имеет обратную
, (3)
строго монотонную и непрерывно
дифференцируемую на некотором интервале
- окрестности точки
.
Подставляя
выражение для
во
второе уравнение (1), получим, что кусок
нашей кривой
, соответствующий интервалу
, описывается
непрерывно дифференцируемой функцией (см. § 4.4, теорема 1)
, (4)
и потому в любой точке
существует
касательная, не параллельная оси
. Очевидно, точки
взаимно однозначно
проектируются на ось
.
Если теперь
, то, рассуждая
аналогично, получим, что кусок
кривой
, соответствующий достаточно малому
интервалу
,
описывается непрерывно дифференцируемой функцией
. (5)
Отсюда следует, что и в этом
случае в любой точке
существует касательная, но теперь она
не параллельна оси
.
Таким образом, в любой точке
гладкой кривой
существует
касательная, которая может быть параллельной одной из осей координат.
П р и м е р. Уравнения
определяют в параметрической форме кривую – эллипс с
полуосями
и
(рис.
63).
Рис. 63
Это гладкая кривая, потому что
функции
и
имеют
непрерывные производные, одновременно не равные нулю:
.
Точки
(см. рис. 63)
делят эллипс на четыре гладких куска, каждый из них проектируется взаимно
однозначно либо на ось
, либо на ось
.