Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 4.21. Непрерывная и гладкая кривая
Уравнения
,
(1)
где 
и 
- непрерывные функции на 
, определяют непрерывную
кривую, заданную при помощи параметра 
, т. е. геометрическое место точек 
, упорядоченных при
помощи параметра 
.
При возрастании точка
движется
по плоскости. Не исключено, что разным 
- соответствует одна и та же точка
плоскости: 
.
Непрерывная
кривая (1) называется гладкой на 
, если функции 
и 
имеют непрерывную
производную на , и выполняется
неравенство
. (2)
Обозначим кривую (1) через 
. Пусть 
. В силу условия (2)
одно из чисел 
,
отлично
от нуля. Пусть для опреленности 
. Но тогда в силу непрерывности 
существует интервал
, на
котором сохраняет
знак .
Следовательно, 
строго
монотонна на 
и,
кроме того, как мы знаем, непрерывно дифференцируема. В таком случае функция 
имеет обратную
, (3)
строго монотонную и непрерывно
дифференцируемую на некотором интервале 
- окрестности точки 
.
Подставляя
выражение для во
второе уравнение (1), получим, что кусок 
нашей кривой 
, соответствующий интервалу , описывается
непрерывно дифференцируемой функцией (см. § 4.4, теорема 1)
, (4)
и потому в любой точке существует
касательная, не параллельная оси 
. Очевидно, точки взаимно однозначно
проектируются на ось 
.
Если теперь 
, то, рассуждая
аналогично, получим, что кусок 
кривой , соответствующий достаточно малому
интервалу ,
описывается непрерывно дифференцируемой функцией
. (5)
Отсюда следует, что и в этом
случае в любой точке существует касательная, но теперь она
не параллельна оси 
.
Таким образом, в любой точке
гладкой кривой существует
касательная, которая может быть параллельной одной из осей координат.
П р и м е р. Уравнения
определяют в параметрической форме кривую – эллипс с
полуосями 
и
(рис.
63).
Рис. 63
Это гладкая кривая, потому что
функции 
и
имеют
непрерывные производные, одновременно не равные нулю:
.
Точки 
(см. рис. 63)
делят эллипс на четыре гладких куска, каждый из них проектируется взаимно
однозначно либо на ось , либо на ось .
