ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА

В качественной теории дифференциальных уравнений появилось недавно новое направление, так или иначе связанное с понятием «странного аттрактора». Сам термин «странный аттрактор» был введен в работе Рюэля и Такенса в 1970 г., но вся проблематика не пользовалась большой популярностью у исследователей, занимавшихся анализом конкретных динамических систем. Положение радикально изменилось около 1975 г., когда концепция «странного аттрактора» была связана с моделью, открытой и численно исследованной в 1963 г. известным американским метеорологом Е. Лоренцом и названной впоследствии «моделью Лоренца», и возникли реальные надежды на то, что явления типа возникновения турбулентности могут быть объяснены с помощью концепции «странного аттрактора».

Хорошо известна гипотеза Ландау, согласно которой турбулентность появляется в результате бесконечной последовательности бифуркаций, при которых в фазовом пространстве системы образуются инвариантные торы растущей размерности с условно-периодическими движениями. Различные подходы к обоснованию этой гипотезы, как теоретические, так и экспериментальные, не приводили к серьезному успеху. Имеющийся в настоящее время экспериментальный материал подсказывает, что гипотеза Ландау должна быть видоизменена следующим образом: турбулентность возникает из бесконечной последовательности бифуркаций периодических траекторий, состоящих в появлении периодических траекторий удвоенного периода. Такие бифуркации бывают при прохождении спектра линеаризованного отображения Пуанкаре через —1 и поэтому устойчивы по отношению к малым возмущениям правых частей. Кроме того, последовательность бифуркаций типа удвоения периода приводит к представлению о странном аттракторе как о предельном объекте, получающемся из все более сложных периодических траекторий. Обнаруженный в последнее время численно «закон Фейгенбаума» показывает, что цепочка бифуркаций типа удвоения периода обладает определенными свойствами универсальности.

Недавняя математическая работа Колле, Экмана и Лэнфорда отчасти объясняет эту универсальность.

Исследования последних лет главным образом физического характера показывают, что странные аттракторы появляются при изменении параметров систем обыкновенных дифференциальных уравнений с нелинейной частью весьма простого вида. Такие системы встречаются в нелинейной оптике, физике плазмы, теории твердого тела, в задачах биологии и экологии и т. д. Поэтому можно думать, что с помощью странных аттракторов удастся объяснить много реальных явлений и фактов.

Математических результатов, относящихся к теории странных аттракторов, сравнительно немного. По существу, более или менее понятной можно считать лишь модель Лоренца. Фактически мы ничего не знаем ни о структуре реальных странных аттракторов в пространствах размерности, большей трех, ни о поведении странных аттракторов в галеркинских аппроксимациях при увеличении числа мод. Неясно также, в каком направлении и как следует ослаблять условия гиперболичности, при выполнении которых удается доказывать ряд теорем о топологических и эргодических свойствах странных аттракторов.

В предлагаемый сборник включены основные доклады, прочитанные на семинаре в Университете Беркли на тему «Динамические системы и турбулентность». Кроме того, в сборник помещены работы Рюэля и Такенса, Лоренца и ряд работ, содержащих результаты численного анализа некоторых конкретных динамических систем. Можно надеяться, что сборник представит интерес как для математиков, так и для физиков, биологов и других специалистов, желающих ознакомиться с динамическими системами простого вида, но сложного поведения.

Я. Г. Синай Л. П. Шильников