ДВУМЕРНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ СО СТРАННЫМ АТТРАКТОРОМ

М. Хенон

Резюме. Лоренц [6] исследовал систему трех дифференциальных уравнений первого порядка, решения которой стремятся к «странному аттрактору». В данной работе показывается, что аналогичными свойствами обладает простое отображение плоскости, определяемое уравнениями . Численные эксперименты проводятся при . В зависимости от начальной точки последовательность точек, получаемая в результате итераций отображения, либо уходит на бесконечность, либо стремится к странному аттрактору, который выглядит как произведение одномерного многообразия на канторово множество.

§ 1. ВВЕДЕНИЕ

Лоренц [6] предложил и исследовал замечательную систему трех связанных дифференциальных уравнений, задающих поток в трехмерном пространстве. Дивергенция этого потока — постоянная отрицательная величина, так что любой объем уменьшается экспоненциально по времени. Более того, существует ограниченная область R, куда рано или поздно попадаеткаждая траектория. Следовательно, все траектории стремятся к множеству меры нуль, называемому аттрактором. В некоторых случаях аттрактор — это просто точка (которая тогда является устойчивым состоянием равновесия) или замкнутая кривая (называемая предельным циклом). Но бывает, что аттрактор имеет гораздо более сложную структуру; локально он выглядит как произведение двумерного многообразия на канторово множество. Тогда его называют странным аттрактором. Внутри такого аттрактора траектории блуждают явно нерегулярным образом. Более того, они чрезвычайно чувствительны к вариации начальных условий. Это

явление представляет интерес с точки зрения прогноза погоды (Лоренц [6]) и в более общем случае для теории турбулентности (Рюэль и Такенс [8]; Рюэль [9]). Дальнейшие численные исследования системы Лоренца были проведены Ланфордом [5] и Помо [7].

Мы предлагаем в этой работе «упрощенный» подход — пытаемся найти простую, насколько это возможно, модель, которая одновременно обладала бы такими же основными свойствами, что и система Лоренца, Наша цель: 1) предложить модель, которая бы более легко поддавалась математическому анализу, и 2) сделать численное исследование более быстрым и точным, чтобы можно было следить за решением на больших временах, проводить более детальные исследования и т. д.

2. МОДЕЛЬ

Наш первый шаг совпадает с классическим (Биркгоф [1]) и состоит в том, что рассматриваются не целые траектории в трехмерном пространстве, а только их последовательные пересечения с двумерной секущей поверхностью S. Мы определим отображение Т, переводящее S в себя, следующим образом: задав на S точку А, мы выпустим из нее траекторию и будем следить за ней до тех пор, - пока она снова не пересечет S, новая точка и будет . Это отображение иногда называют отображением Пуанкаре. Траектория, таким образом, заменяется бесконечным множеством точек на S, получаемых при последовательных применениях отображения Т. Все существенные свойства траектории находят отражение в свойствах этого множества. Так мы формально можем свести задачу к исследованию двумерного отображения.

Пока, однако, это дает нам лишь одно реальное преимущество — ясность представления результатов; для фактического вычисления отображения все еще нужно численно интегрировать дифференциальные уравнения. Теперь настала очередь второго, решающего шага: забудем о системе дифференциальных уравнений и определим отображение Т явными формулами, которые по заданной точке А сразу дают . Это, конечно, коренным образом упрощает вычисления. Новое отображение Т уже никак не связано с системой Лоренца; однако, если его тщательно подобрать, можно надеяться на сохранение тех основных свойств, изучением которых мы собираемся заниматься. Накопленный опыт работы с сохраняющими меру системами (см. Хенон [4] и приведенные там ссылки) показал, что одни и те же свойства обнаруживаются и в динамических системах, порождаемых

дифференциальными уравнениями, и в отображениях, которые строятся, как указано выше.

Третий шаг состоит в конкретизации Т. Здесь на нас большое влияние оказали полученные Помо [7] численные результаты по системе Лоренца. Они ясно показывают, как объем сжимается в одном направлении и одновременно складывается, перегибаясь в процессе одного оборота. Эта складка описана также Рюэлем ([9], рис. 5 и 6). Мы моделируем ее следующей цепочкой из трех отображений плоскости в себя.

Рис. 1. Начальная область а) отображается с помощью Т в б), затем с помощью в в) и, наконец, с помощью в г).

Рассмотрим область, вытянутую вдоль оси (рис. 1, а). Начнем складывание с отображения

которое дает рис. 1, б; а — регулируемый параметр. Завершает образование складки сжатие вдоль оси

в результате получается рис. — другой параметр, по абсолютной величине он должен быть меньше 1. Наконец, мы возвращаемся к прежней ориентации вдоль оси с помощью

и получаем рис. 1, г.

Наше отображение задается произведением Записав теперь вместо вместо как напоминание о том, что отображение будет итерироваться, получим

Это отображение имеет ряд интересных свойств. Его якобиан постоянен

Геометрическая интерпретация этого весьма проста: Т сохраняет площадь, V также сохраняет площадь, но меняет знак, а уменьшает площади, умножая их на постоянный множитель b. Свойство (5) нам подходит, так как оно — непосредственный аналог постоянной отрицательной дивергенции в системе Лоренца.

Полиномиальное отображение, удовлетворяющее свойству (5), известно как преобразование Кремоны., обратное отображение также задается полиномами (Энгел [2], [3]). В самом деле,

Так что Т — взаимно-однозначное отображение плоскости в себя. Это то же подходящее свойство и естественный аналог факта, что в системе Лоренца через каждую точку проходит только одна траектория.

К выбору такого Т можно было бы прийти и другим путем, отыскивая «простейшее» нетривиальное отображение. Тогда естественно рассматривать полиномиальные отображения как можно меньшего порядка. Линейные отображения тривиальны, так что полиномы должны иметь по меньшей мере степень 2. Наиболее общий вид квадратичного отображения

зависит от 12 параметров. Но если мы наложим условие постоянства якобиана, то получим некоторые связи между параметрами. Мы можем далее уменьшить число параметров, подходящим образом выбрав координаты на плоскости. Таким образом, немного развив результаты Энгела [2], можно показать, что общую форму (7) можно свести к «канонической форме», зависящей только от двух параметров. Это — обобщение нашего раннего результата (Хенон [3]) о том, что квадратичное сохраняющее площадь отображение может быть приведено к форме, зависящей только от одного параметра.

Полученную каноническую форму можно записывать по-разному, и один из видов совпадает с отображением (4), к

которому мы теперь пришли с другой стороны. Это отображение, построенное вначале эмпирически, оказалось на самом деле наиболее общим квадратичным отображением с постоянным якобианом.

Одно из отличий отображения (4) от системы Лоренца в том, что последовательность точек, получающаяся при повторных применениях Т, не всегда сходится к аттрактору, а иногда «убегает» на бесконечность. Это связано с тем, что на больших расстояниях от начала координат в (4) преобладает квадратичный член. Однако при некоторых значениях а и b можно показать существование ограниченной «области захвата» R, из которой точки, однажды в нее попав, не могут вырваться (см. ниже, разд. 5).

Отображение Т имеет две инвариантные точки, задаваемые формулой

при

При выполнении (9) одна из точек всегда неустойчива, в то время как другая неустойчива только при

3. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ

Выберем теперь конкретные значения а и b для численного вычисления. Параметр b должен быть достаточно малым, чтобы действительно существовал показанный на рис. 1 перегиб, но не слишком малым, чтобы можно было разглядеть тонкую структуру аттрактора. Значение как оказалось, удовлетворяет этим требованиям. Подходящее значение а удалось найти только после некоторого экспериментирования. При или где дается формулой (9), а примерно равно 1,55 при точки всегда уходят на бесконечность: видимо, при этих значениях а аттрактора нет. При в зависимости от начальных

условий точка либо уходит на бесконечность, либо притягивается к аттрактору, который оказался единственным при данном а. Сконцентрируем теперь все внимание на аттракторе. При где дается формулой (10), аттрактор — это устойчивая инвариантная точка. Когда а превышает аттрактор поначалу все еще прост и представляет собой периодическое множество из точек. Эквивалентным аттрактором в системе Лоренца будет предельный цикл, раз пересекающий секущую поверхность. Величина возрастает в результате последовательных «бифуркаций», происходящих с ростом а, и, похоже, стремится к бесконечности, когда а приближается к критическому значению порядка 1,06 при . При аттрактор уже не простой и поведение точек становится нерегулярным. Мы выбрали следующие значения:

4. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

На рис. 2 показан результат нанесения на график 10 000 последовательных точек, полученных итерациями Т, начиная с произвольно выбранной точки вертикальный масштаб увеличен, чтобы картина была нагляднее. На рис. 3 тоже показан результат 10 000 итераций, начавшихся из другой точки: (этот выбор будет объяснен ниже). Два рисунка выглядят практически одинаково. Это надежно подтверждает, что на обоих рисунках мы видим сам аттрактор: последовательные точки быстро приближаются к аттрактору и скоро их совсем нельзя отличить от него при выбранном масштабе рисунков. Это можно увидеть, если проследить за несколькими первыми точками на рис. 2. Начальная точка и первая итерация ясно видны; вторая итерация все еще видна, третья итерация едва различима, а четвертая итерация совсем потеряна внутри аттрактора при том разрешении, которое дает рис. 2. Следующие точки уже блуждают по аттрактору явно нерегулярным образом.

Одна из двух неустойчивых инвариантных точек имеет следующие задаваемые (8) координаты:

(см. скан)

Рис. 2. 10000 последовательных точек, полученных итерациями отображения Т, начиная с

(см. скан)

Рис. 3. То же, что и рис. 2, но начиная с

Оказалось, что эта точка принадлежит аттрактору. Два собственных значениях и наклоны соответствующих собственных векторов таковы:

Неустойчивость вызвана Видно, что соответствующий наклон касается «кривых» на рис. 2.

Эти свойства позволяют нам исключить «переходный режим», в котором точки приближаются к аттрактору и который не очень интересен; мы просто начнем из малой окрестности неустойчивой точки (12), округлив ее коордииаты до 8 цифр. Это сделано на рис. 3 и на последующих, рисунках. Точки быстро уходят вдоль линий с наклоном поскольку существенно больше, чем 1.

Аттрактор выглядит как бы состоящим из ряда более или менее параллельных «кривых»; точки стремятся плотно распределиться по этим кривым. Редкие прогалы, различимые на рис. 2 и 3, вероятно, не очень существенны. Их расположение на этих двух рисунках различно — они вызваны просто статистическими флюктуациями квазислучайного распределения точек и исчезнут, если нанести дополнительное количество точек. Таким образом, продольная структура аттрактора (вдоль кривых) выглядит просто — каждая кривая, по существу, одномерное многообразие.

Поперечная структура (поперек кривых) выглядит совсем по-другому, гораздо более сложно. Уже на рис. 2 и 3 виден ряд кривых, и заметная толщина некоторых из них заставляет предположить, что фактически они имеют внутреннюю структуру. Рис. 4 — это увеличенный образ маленького квадратика на рис. 3: некоторые из бывших «кривых» теперь в самом деле расщепились на две или более компонент. Число итераций, было увеличено до 105, чтобы иметь достаточное число точек в исследуемой маленькой области. Маленький квадратик на рис. 4 снова увеличен и воспроизведен на рис. увеличено до 106: снова число различимых кривых возросло. Еще одно увеличение дает рис. 6, с точки стали редкими, но кривые все же видны.

Эти рисунки надежно подтверждают, что процесс увеличения числа «кривых» будет продолжаться бесконечно и каждая видимая «кривая» на самом деле состоит из бесконечного числа квазипараллельных кривых. Более того, рис. 4—6 показывают существование иерархической последовательности «уровней», на каждом уровне структура практически одна и та же с сохранением масштабного множителя. Именно такой структурой является канторово множество,

(см. скан)

Рис. 4. Увеличение квадратика на рис. 3. Число точек в реализации равно

(см. скан)

Рис. 5. Увеличение квадратика на рис. 4

Рамки рис. 4—6 были выбраны так, чтобы они содержали инвариантную точку (12). Видно, что эта точка лежит на верхней границе аттрактора. Удивительно, но ее присутствие совершенно незаметно на рисунках; это — существенное отличие от случая сохраняющих площадь отображений, где устойчивые и неустойчивые инвариантные точки играют очень заметную роль (см., например, Хенон [4]).

Рис. 6. Увеличение квадратика на рис. 5.

С другой стороны, существование инвариантной точки объясняет, по крайней мере локально, существование иерархии подобных структур: при каждом применении отображения масштаб поперечной структуры умножается на определяемое (13). Одновременно точки разбегаются вдоль кривых, как предписывает величина

5. ОБЛАСТЬ ЗАХВАТА

Тот факт, что даже после итераций точки не ушли на бесконечность, свидетельствует, что на плоскости есть область, из которой точки не могут убежать. Это действительно может быть доказано, если мы найдем область R, которая

преобразуется внутрь себя. Пример такой области — четырехугольник ABCD, задаваемый угловыми точками:

Образ ABCD — это область, ограниченная четырьмя дугами парабол, и с помощью элементарной алгебры можно показать, что этот образ лежит внутри ABCD. Нанеся этот четырехугольник на рис. 2 или 3, можно проверить, что он накрывает наблюдавшийся аттрактор.

6. ВЫВОДЫ

Простое отображение (4) демонстрирует те же основные черты, что и система Лоренца. Исследовать численно такое отображение гораздо проще: фактически большая часть исследовательской работы при подготовке данной статьи проводилась при помощи карманного калькулятора Для более обширных вычислений рис. 2—6 мы использовали ЭВМ IBM 7040 с -значной точностью. За решениями можно следить в течение гораздо большего времени, чем в случае системы дифференциальных уравнений. Точность также возрастает, поскольку нет ошибок интегрирования.

Лоренц [6] вывел канторовскую структуру аттрактора теоретически, но не смог ее непосредственно наблюдать, поскольку степень сжатия после одного слишком велнка. Аналогичные данные приводились Помо [7]. В нашем отображении степень сжатия после одной итерации 0,3 и последовательность уровней иерархии легко наблюдается. Этому также способствует большее число точек.

Наконец, с точки зрения математического исследования, с отображением (4) проще иметь дело, чем с системой дифференциальных уравнений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Birkhoff G. D. Trans. Amer. Math. Soc. 18, 199 (1917).

2. Engel W. Math. Annalen 130, 11 (1955).

3. Engel W. Math. Annalen 136, 319 (1958).

4. Нёпоп M. Quart. Appl Math. 27, 291 (1969).

5. Lanford О., работа цитированная Ruelle D. [9],

6. Lorenz E. N. J. Atmos. Sci. 20, 130 (1963). [Русский перевод в настоящем сборнике.]

7. Pomeau Y. in: «Turbulence and fclavier— Stokes Equations», Lect. Notes in Math., 565, Springer-Verlag (1976).

8. Ruelle D., Takens F. Comm. Math. Phys. 20, 167c 23, 343 (1971). [Русский перевод в настоящем сборнике стр. 117—151.]

9. Ruelle D. Report at the Conference on «Quantum Dynamics, Models and Mathematics» in Biefeld, 1975; published in: «Turbulence and Navier — Stokes, Equations, Lect. Notes in Math. 565, Springer-Verlag (1976).

10. Devaney R., Nitecki Z., Comm. Math. Phys., 61, 249 (1979).

11. Feit S. D. Comm. Math. Phys., 61, 249 (1978).

12. Simo C. On the Henon — Pomeau Attractor, Preprint, Barcelona (1978). 13. Гаврилов H. К., Шильников Л. П. Мат. сборник, 88, 475 (1972) и 90, 139 (1973).

14. Якобсон М. В. Доклады АН СССР, 243, 866 (1.978),