Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДВА ПОДХОДА К МОДЕЛИРОВАНИЮ ДВУМЕРНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИХарланд М. Глэз Следующие две проблемы представляют в теории турбулентности значительный интерес: 1) явное построение динамической системы с конечным числом степеней свободы, которая бы правильно моделировала турбулентность в жидкости, описываемой уравнениями Навье — Стокса, и 2) выяснение того, что же следует понимать под словами «правильное моделирование». А именно, следует решить, какие получаемые экспериментально (т. е. в течениях, описываемых полными уравнениями Навье — Стокса) физические характеристики (например, спектры энергии и завихренности, корреляции скорости) должны быть отражены в модели. В этой статье мы остановимся на достоинствах и недостатках двух таких моделей. Наш подход противоположен подходу Боуэна [3], который использует некоторые взятые из эксперимента характеристики (например, последовательность бифуркаций), но модель с подходящим поведением не указывает. В дальнейшем мы будем в основном рассматривать двумерные течения, хотя те же вопросы можно обсуждать и применительно к трехмерному случаю. Введем следующие обозначения: пространственные координаты обозначим через Рассмотрим сначала вихревую модель. Она важна потому, что в эксперименте обращают большое внимание на распределение завихренности. Например, при эволюции поля скоростей согласно уравнениям Навье — Стокса, часто проявляется тенденция к образованию макроскопических т. е. крупномасштабных вихрей (см., например, [19]). Вихревая модель, хотя и представляет собой довольно грубую аппроксимацию реального потока, специально предназначена для описания этого явления. Наша вторая модель этим свойством не обладает; в ней такая качественная характеристика, как распределение завихренности, получается окольным путем. Приведем вначале некоторые основные формулы. Уравнения Навье — Стокса имеют вид
где p — давление, F — внешняя сила, v — вязкость. В вихревой модели F и v всегда полагаются равными нулю. Считается также, что Поскольку
Из определения завихренности следует, что
Первый шаг в построении вихревой модели — понятие о точечном вихре. Одиночный точечный вихрь, расположенный в точке
где
Предположим теперь, что мы имеем М таких точечных вихрей, расположенных в точках в данной точке (самовоздействия у точечных вихрей нет):
Это и есть формулировка вихревой модели. А именно: берется случайное начальное распределение точечных вихрей и изучается его эволюция, описываемая уравнениями (7). Самой важной чертой вихревой модели является гамильтоновость получающейся системы. В самом деле, введем
для
где
Уравнения (10) и (11) определяют гамильтонову систему с «энергией» Н и каноническими координатами Здесь стоит обратить внимание на то, что систему (7) — (10) можно интерпретировать и в терминах «двумерной» физики плазмы. Если Значительный интерес при исследовании вихревой модели В последнее время привлекло «состояние с отрицательной энергией». Это явление обнаруживается, если взять М достаточно большим и применить к гамильтониану (9) методы статистической механики. Детали вывода можно найти в работах Онсагера [24], Корина [4], Монтгомери и Джойса [21], Фокса и Орзага [11], Монтгомери [20] и в приведенной в них литературе. Оказалось, что при некоторых правдоподобных, но не вполне убедительных предположениях вихри одинаковой ориентации объединяются, если и только если вычисленная из статистической механики температура (см. [16]) отрицательна. (Заметим, что отрицательные температуры возможны только из-за конечности объема Как бы то ни было, понятно, что данная модель полезна при изучении распределения завихренности в специальном случае набора точечных вихрей. Нет пока ответа лишь на следующий вопрос: может ли эта модель быть использована как аппроксимация реального двумерного течения, которое в начальный момент задается набором вихрей, но не обязательно точечных и не обязательно сохраняющих свою структуру в ходе эволюции? Для того чтобы вихревая модель оказалась полезной в теории турбулентности, ответ должен быть положительным. С этой точки зрения представляет интерес модель случайных вихрей Корина [7], в которой сделана попытка преодолеть некоторые трудности вихревой модели. Сделаем замечание относительно применимости вихревой модели в трехмерном случае: здесь следует рассматривать набор тонких вихревых нитей, брать поверхность перпендикулярно каждой нити и следить за движением нитей по этим поверхностям аналогично используемому в плазме представлению о ведущем центре. Конечно, в настоящем трехмерном течении поверхности будут двигаться вместе с жидкостью, что затруднит их параметризацию в произвольные моменты времени, см. [4]. Вторая из обсуждаемых моделей — это модель мод Фурье. Она применима к уравнениям Навье — Стокса в пространстве с любым числом измерений, а также к одномерному модельному уравнению — уравнению Бюргерса
Далее мы будем полагать, что просто преобразуем масштабы переменных в окончательной системе (она будет выписана ниже) и не затрагиваем качественного поведения. Вначале нам понадобится и давление, так что разложим
и для получения системы обыкновенных дифференциальных уравнений проделаем следующие операции: 1) подставим (13) в (1), (2) (или (12)); 2) используем (2) для исключения слагаемого с
3) в получившемся выражении приравняем коэффициенты перед Окончательный результат — бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений с бесконечным числом переменных
Она имеет вид
где
Эти уравнения годятся и при
Последний шаг, необходимый для получения динамической системы (в обычном смысле), — это 4) укорочение (14) — (15) таким образом, чтобы соблюдалось условие (18). А именно: надо положить все моды Фурье, кроме конечного числа, равными тождественно нулю с учетом того, что если Ограничимся далее невязким случаем и выпишем систему, получающуюся после сферически симметричного укорочения:
где (20) - одно уравнение для каждого Отвлечемся ненадолго и обсудим вопрос: насколько хорошо система (19)-(20) аппроксимирует реальное течение (1) — (2)? Здесь есть две трудности. Во-первых, в реальном турбулентном потоке v очень мало, но все же не равно нулю. Эвристические аргументы Бэтчелора [2] показывают, что - в трехмерном случае предел Вторая трудность заключается в процедуре укорочения — сохраняются не все моды. Правда, отличной аппроксимации можно достичь по крайней мере в принципе, если сохранить все моды с волновыми числами, меньшими, чем соответствующие, скажем, межмолекулярным расстояниям. Ясно, что это не реально, и в действительности проблема в том, является ли разумное укорочение хорошей аппроксимацией. Во всяком случае, какой бы ответ не существовал на указанные вопросы, естественно предположить, что представление течения модами Фурье даст хорошее приближение по крайней мере некоторых характеристик турбулентности. Обратимся теперь после сделанных предварительных замечаний к вопросу о том, как из модели можно получить характеристики течения. Спектры скорости и завихренности получаются сразу. Но на них мы останавливаться не будем, а рассмотрим подробнее более качественную характеристику: распределение завихренности в двумерном течении. Хотя система (19) — (20) и не гамильтонова (по крайней мере ее гамильтоновость еще не показана), теорема Лиувилля выполняется. Имеем
Доказательство тривиально. Значение этого результата в том, что динамическая система сохраняет лебегову меру в фазовом пространстве динамических переменных Другой, тоже легко получающийся важный результат — это сохранение энергии
Если мы ограничимся двумерным случаем, то получим еще один квадратичный интеграл движения, называемый энстрофией или полной завихренностью:
Замечание: полная система (при v = 0) имеет бесконечный набор интегралов движения, соответствующих моментам распределения завихренности. Все они, кроме (23) и (22), пропадают при оставлении конечного числа мод. Принимая во внимание соотношения равно
где каждая компонента F квадратична по
где Б — энергия, О — энстрофия, а константы Как было показано, есть по меньшей мере два интеграла движения —
где Естественно, что Существует важный путь преодоления этой трудности — введение в систему малой вязкости. Этим уничтожится сохранение энергии, энстрофии и меры, но окончательным распадом; возможно, проявятся и описанные выше «аттракторы». Действуя в том же духе, можно снова ввести вынуждающую силу F в Сделаем два замечания к изложенному в последних двух абзацах. Во-первых, все сказанное применимо к любой характеристике, которую только можно описать на языке модели мод Фурье. Во-вторых, противоречие между случаями Теперь снова вернемся к случаю
где
Сделанные выше замечания оправдывают предположение, что у системы (24) есть инвариантные множества ненулевой меры. В частности, нам кажется, что эта система неперемешивающая и неэргодическая (см. [14]). Казалось бы, это сразу следует из гипотезы о существовании характеристик (наборов фазовых функций), которые в турбулентных течениях стремятся к определенным значениям. Но следует иметь в виду лишь доводы, приведенные в предыдущем абзаце. В частности, методами статистической механики подобные явления можно, видимо, объяснить и в эргодическом случае. В двумерных течениях, где есть дополнительный квадратичный интеграл движения, такая возможность маловероятна, но в трехмерном случае ее нельзя отвергнуть. Следовательно, наше предположение относится в основном к двумерным течениям. Теперь сделаем ряд замечаний по поводу методологии исследования статистических свойств, таких, как эргодичность, у динамической системы. Поскольку точно решить уравнения не удается, применяют подходящую разностную схему. Фактически это замена сохраняющего меру потока фазовых функций по S, используя эргодическую теорему (см. [14]). Влияние аппроксимации — в замене
суммой
где Наконец, мы приведем несколько результатов, имеющих отношение к обсуждавшимся вопросам. 1. Чорин [6] рассматривал модель мод Фурье для уравнения Бюргерса с точки зрения проверки на эргодичность и перемешивание. Брались модели с малым и средним числом масштабов (менее 20 мод). Убедительно показано, что система не эргодична. 2. Хальд [13] рассмотрел ряд систем вида (19) — (20) с очень малым числом мод в двумерном случае и действительно построил несколько интегралов движения. Следовательно, эти системы неэргодичны. 3. Ли [17, 18] утверждает, что результаты Хальда обусловлены специальным выбором оставленных мод и что в более общем случае будет эргодичность. 4. Басдеван и Садроне [1] привели аналитические и численные доказательства того, что квадратичные фазовые функции двумерной системы имеют равные временные и фазовые средние. Фазовые функции более общего вида не рассматривались. 5. Дим и Забузки [8] изучали спектры энергии и завихренности в двумерной системе (19) — (20), с учетом довольно большого диапазона масштабов (64X64 моды). Найдены две отдельные области начальных условий, которые, эволюционируя, приводят к разным спектральным распределениям. Однако так называемая «эргодическая граница» между этими двумя, множествами может оказаться просто границей между верными и неверными численными расчетами. Если это не так, то результаты надежно подтверждают гипотезу, что поток не эргодичен. Результаты этой статьи имеют отношение и к состояниям с отрицательной температурой, обсуждавшимся в связи с вихревой моделью. 6. Наконец, приведем результат другого толка. Пусть СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ[1] Basdevant С., Sadourney R. Ergodic Properties of Inviscid Truncated Models of Two-dimensional Flows, J. Fluid Mech. 69, n. 4 (1975). [2] Batchelor G. K. The Theory of Homogeneous Turbulence, Cambridge, Univ. Press (1960). [Русский перевод с первого издания: Бэтчелор Дж. К. Теория однородной турбулентности. — М.: ИЛ, 1955.] [3] Bowen R. A Model for Couette Flow Data, in: «Turbulence Seminar», Lect. Notes in Math. 615, Springer-Verlag (1977). [4] Chorin A. J. Lectures on Turbulence Theory, Publish or Perish (1976). [5] Chorin A. J. Computational Aspects of the Turbulence Problem, Proc. 2nd Int. Conf. Num. Meth. Fluid Mech., Springer (1970). [6] Chorin A. J. Numerical Experiments with a Truncated Spectral Representation of a Random Flow, unpublished. [7] Chorin A. J. Numerical Study of Slightly Viscous Flow, J. Fluid Mech., 57, n. 4 (1973). [8] Deem G. S., Zabusky N. J. Ergodic Boundary in Numerical Simulations of Two-dimensional Turbulence, Phys. Rev. Lett., 27, n. 7 (1971). [9] Ebin D. G., Marsden J., Groups of Diffeomorphisms and the Motion of an Incompressible Fluid, Ann of Math., 92 (1970). [Русский перевод в сб. Математика, 17, № 5—6 1973.] [10] Foias С. Ergodic Problems in Functional Spaces Related to the Na-vier—Stokes Equations, Proc. Int. Conf. Funct. Anal, relat. Topics, Tokyo (1969). [11] Fox D. G., Orszag S. A. Inviscid Dynamics of Two-dimensional Turbulence, Phys. Fluids, 16, n. 2 (1973). [12] Gollub J. P., Swinney H. L., Onset of Turbulence in a Rotating Fluid, Phys. Rev. Lett., 35. n. 14 (1975). [13] Hald 0. Constants of Motion in Models of Two-dimensional Turbulence, Phys. Fluids, 19, n. 6 (1976). [14] Halmos R. P., Lectures on Ergodic Theory, Chelsea Publ. Co (1956). [Русский перевод: Халмош P. П. Лекции по эргодической теории. — М.: ИЛ, 1959.] [15] Hopf Е. Statistical Hydromechanics and Functional Calculus, J. Rat. Mech. Anal., 1 (1952). [161 Хинчии А. Я. Математические основы статистической механики. — М.: 1947. [17] Lee J., How Many Isolating Constants of Motion in 2-D Turbulence, Preprint. [18] Lee J. Isolating Constants of Motion for Homogeneous Turbulence of Two and Three Dimensions, J. Math. Phys., 16, n. 7 (1975). [19] Lo R. K. S., Ting L. Studies of the Merging of Vortices, Phys. Fluids, 19, n. 6 (1976). [20] Montgomery D., Two-dimensional Vortex Motion and «Negative Temperatures», Phys. Lett. 39A, n. 1 (1972). [21] Montgomery D., Joyce G. Statistical Mechanics of «Negative Temperature» States, preprint, Dept, of Physics and Astronomy, The Univ. of Iowa (1973). [22] Moser J. Stable and Random Motions in Dynamical Systems, Annals of Math. Stud. n. 77, Princeton Univ. Press (1973). [23] Moser J., Phillips E., Varadhan S. Ergodic Theory: A Seminar, Courant Inst. Lecture Notes (1975). [24] Onsager L. Statistical Hydromechanics, Nuovo Cimento Suppl. Al., v. VI, serie IX (1949). [25] Orszag S. A. Analitical Theories of Turbulence, J. Fluid Mech., 41, n. 2 (1970). [26] Orszag S. A. Numerical Simulation of Incompressible Flows Within Simple Boundaries I. Galerkin (Spectral) Representations, Stud. Appl. Math. L, n. 4 (1971). [27] Seyler С. E., Jr. Thermodynamics of Two-dimensional Plasmas or Discrete Line Vortex Fluids, Phys. Fluids, 19, n. 9 (1976). [28] Должанский Ф. В. др. Нелинейные системы гидродинамического типа. — М.: Наука, 1974. [29] Захаров В. Е., Львов В. С. — Изв. вузов. Радиофизика, 18, с. 1470 (1975).
|
1 |
Оглавление
|