ДВА ПОДХОДА К МОДЕЛИРОВАНИЮ ДВУМЕРНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Харланд М. Глэз

Следующие две проблемы представляют в теории турбулентности значительный интерес: 1) явное построение динамической системы с конечным числом степеней свободы, которая бы правильно моделировала турбулентность в жидкости, описываемой уравнениями Навье — Стокса, и 2) выяснение того, что же следует понимать под словами «правильное моделирование». А именно, следует решить, какие получаемые экспериментально (т. е. в течениях, описываемых полными уравнениями Навье — Стокса) физические характеристики (например, спектры энергии и завихренности, корреляции скорости) должны быть отражены в модели. В этой статье мы остановимся на достоинствах и недостатках двух таких моделей. Наш подход противоположен подходу Боуэна [3], который использует некоторые взятые из эксперимента характеристики (например, последовательность бифуркаций), но модель с подходящим поведением не указывает.

В дальнейшем мы будем в основном рассматривать двумерные течения, хотя те же вопросы можно обсуждать и применительно к трехмерному случаю.

Введем следующие обозначения: пространственные координаты обозначим через , а поля скорости и завихренности — соответственно через и . Повторяющиеся греческие индексы будут означать суммирование от 1 до N, где N — число измерений течения. Наконец, 3) 3 — область, содержащая жидкость.

Рассмотрим сначала вихревую модель. Она важна потому, что в эксперименте обращают большое внимание на распределение завихренности. Например, при эволюции поля скоростей согласно уравнениям Навье — Стокса, часто проявляется тенденция к образованию макроскопических т. е.

крупномасштабных вихрей (см., например, [19]). Вихревая модель, хотя и представляет собой довольно грубую аппроксимацию реального потока, специально предназначена для описания этого явления. Наша вторая модель этим свойством не обладает; в ней такая качественная характеристика, как распределение завихренности, получается окольным путем.

Приведем вначале некоторые основные формулы. Уравнения Навье — Стокса имеют вид

где p — давление, F — внешняя сила, v — вязкость. В вихревой модели F и v всегда полагаются равными нулю. Считается также, что — двумерный вектор.

Поскольку можно ввести функцию тока

Из определения завихренности следует, что

    (4)

Первый шаг в построении вихревой модели — понятие о точечном вихре. Одиночный точечный вихрь, расположенный в точке , определяется следующим распределением завихренности

где — напряженность вихря. Заметим, что ориентация вихря определяется знаком Нетрудно получить функцию тока единичного точечного вихря:

Предположим теперь, что мы имеем М таких точечных вихрей, расположенных в точках и что поле скоростей определяется только ими. Будем также считать, что структура каждого вихря не меняется во времени, т. е. он остается точечным. Тогда из теоремы Кельвина (общая завихренность каждого элемента жидкости сохраняется) следует, что величины остаются постоянными. Так как вихри движутся вместе с жидкостью, скорость вихря, обозначаемая это скорость, создаваемая всеми остальными вихрями

в данной точке (самовоздействия у точечных вихрей нет):

Это и есть формулировка вихревой модели. А именно: берется случайное начальное распределение точечных вихрей и изучается его эволюция, описываемая уравнениями (7).

Самой важной чертой вихревой модели является гамильтоновость получающейся системы. В самом деле, введем

для

где . Легко проверить, используя (7), что

Уравнения (10) и (11) определяют гамильтонову систему с «энергией» Н и каноническими координатами .

Здесь стоит обратить внимание на то, что систему (7) — (10) можно интерпретировать и в терминах «двумерной» физики плазмы. Если рассматривать как координаты очень длинных и тонких стержней, расположенных строго параллельно внешнему магнитному полю и перпендикулярно плоскости движения и взаимодействующих через кулоновский потенциал, то гамильтониан будет описывать движение стержней в соответствии с «дрейфом ведущего центра», а Н можно интерпретировать как суммарную потенциальную энергию кулоновского взаимодействия. За деталями мы отсылаем к работе Монтгомери и Джойса [21]. Если учесть границы, то выражение для Н усложнится [27].

Значительный интерес при исследовании вихревой модели В последнее время привлекло «состояние с отрицательной энергией». Это явление обнаруживается, если взять М достаточно большим и применить к гамильтониану (9) методы статистической механики. Детали вывода можно найти в работах Онсагера [24], Корина [4], Монтгомери и Джойса [21], Фокса и Орзага [11], Монтгомери [20] и в приведенной в них

литературе. Оказалось, что при некоторых правдоподобных, но не вполне убедительных предположениях вихри одинаковой ориентации объединяются, если и только если вычисленная из статистической механики температура (см. [16]) отрицательна. (Заметим, что отрицательные температуры возможны только из-за конечности объема что влечет за собой и конечность объема фазового пространства). Следовательно, поскольку температура является функцией полной энергии Я, макроскопические вихри будут образовываться при одних значениях Я и не образовываться при других. Эту гипотезу легко проверить, скажем, при помощи ЭВМ. Такие нечеты были проделаны Монтгомери и Джойсом [21], и оказалось, что при отрицательной температуре в самом деле проводит образование макроскопических вихрей. Ясно, конечно, что это доказательство далеко не убедительное.

Как бы то ни было, понятно, что данная модель полезна при изучении распределения завихренности в специальном случае набора точечных вихрей. Нет пока ответа лишь на следующий вопрос: может ли эта модель быть использована как аппроксимация реального двумерного течения, которое в начальный момент задается набором вихрей, но не обязательно точечных и не обязательно сохраняющих свою структуру в ходе эволюции? Для того чтобы вихревая модель оказалась полезной в теории турбулентности, ответ должен быть положительным. С этой точки зрения представляет интерес модель случайных вихрей Корина [7], в которой сделана попытка преодолеть некоторые трудности вихревой модели.

Сделаем замечание относительно применимости вихревой модели в трехмерном случае: здесь следует рассматривать набор тонких вихревых нитей, брать поверхность перпендикулярно каждой нити и следить за движением нитей по этим поверхностям аналогично используемому в плазме представлению о ведущем центре. Конечно, в настоящем трехмерном течении поверхности будут двигаться вместе с жидкостью, что затруднит их параметризацию в произвольные моменты времени, см. [4].

Вторая из обсуждаемых моделей — это модель мод Фурье. Она применима к уравнениям Навье — Стокса в пространстве с любым числом измерений, а также к одномерному модельному уравнению — уравнению Бюргерса

Далее мы будем полагать, что — это прямоугольный ящик с периодическими граничными условиями. Для определенности выберем длины всех ребер равными тогда все волновые числа будут целыми. Легко видеть, что меняя L, мы

просто преобразуем масштабы переменных в окончательной системе (она будет выписана ниже) и не затрагиваем качественного поведения.

Вначале нам понадобится и давление, так что разложим в ряды Фурье:

и для получения системы обыкновенных дифференциальных уравнений проделаем следующие операции:

1) подставим (13) в (1), (2) (или (12));

2) используем (2) для исключения слагаемого с в физическом пространстве, аналогично можно показать, что

3) в получившемся выражении приравняем коэффициенты перед с одинаковыми k.

Окончательный результат — бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений с бесконечным числом переменных

Она имеет вид

где

Эти уравнения годятся и при и при Они более просты в случае и еще больше упрощаются при Более сложное выражение, но такого же, как вида может быть получено для Вывод (непосредственный) уравнений (14) — (17) мы предоставляем читателю. Подробности, особенно связанные с численной процедурой, можно найти в статье Орзага [26]. Заметим, что из того,что , действительно, следует

Последний шаг, необходимый для получения динамической системы (в обычном смысле), — это

4) укорочение (14) — (15) таким образом, чтобы соблюдалось условие (18). А именно: надо положить все моды Фурье, кроме конечного числа, равными тождественно нулю с учетом того, что если оставляется, то должно быть оставлено и Никаких других ограничений на укорочение не накладывается, так что в принципе можно получить бесконечный набор динамических систем. Однако при крупномасштабном моделировании обычно оставляют все к, удовлетворяющие условию , где К выбирают таким, чтобы для вычисления сверток в (14) можно было использовать быстрое преобразование Фурье (см. [26]).

Ограничимся далее невязким случаем и выпишем систему, получающуюся после сферически симметричного укорочения:

где (20) - одно уравнение для каждого одно уравнение для каждого

Отвлечемся ненадолго и обсудим вопрос: насколько хорошо система (19)-(20) аппроксимирует реальное течение (1) — (2)? Здесь есть две трудности. Во-первых, в реальном турбулентном потоке v очень мало, но все же не равно нулю. Эвристические аргументы Бэтчелора [2] показывают, что - в трехмерном случае предел сингулярен в том смысле, что в пределе сохраняется конечный уровень диссипации энергии, в то время как в системе (19) — (20), как будет показано ниже, энергия сохраняется. Из этих рассуждений следует, что должны присутствовать все моды Фурье (т. е. никакого укорочения делать нельзя). Так что если выводы Бэтчелора верны, то они свидетельствуют против системы (19)-(20) как модели трехмерной турбулентности. Однако для уравнения Бюргерса (см. [15]) и для двумерной системы с периодическими граничными условиями (см. [9]) оказалось, что решения уравнений Навье — Стокса с положительной вязкостью приближаются к решениям невязких уравнений при и имеется равномерная сходимость на компакте для фурье-преобразований решений.

Вторая трудность заключается в процедуре укорочения — сохраняются не все моды. Правда, отличной аппроксимации можно достичь по крайней мере в принципе, если сохранить все моды с волновыми числами, меньшими, чем соответствующие,

скажем, межмолекулярным расстояниям. Ясно, что это не реально, и в действительности проблема в том, является ли разумное укорочение хорошей аппроксимацией.

Во всяком случае, какой бы ответ не существовал на указанные вопросы, естественно предположить, что представление течения модами Фурье даст хорошее приближение по крайней мере некоторых характеристик турбулентности. Обратимся теперь после сделанных предварительных замечаний к вопросу о том, как из модели можно получить характеристики течения. Спектры скорости и завихренности получаются сразу. Но на них мы останавливаться не будем, а рассмотрим подробнее более качественную характеристику: распределение завихренности в двумерном течении.

Хотя система (19) — (20) и не гамильтонова (по крайней мере ее гамильтоновость еще не показана), теорема Лиувилля выполняется. Имеем

Доказательство тривиально. Значение этого результата в том, что динамическая система сохраняет лебегову меру в фазовом пространстве динамических переменных (см., например, книгу Хинчина [16]).

Другой, тоже легко получающийся важный результат — это сохранение энергии

Если мы ограничимся двумерным случаем, то получим еще один квадратичный интеграл движения, называемый энстрофией или полной завихренностью:

Замечание: полная система (при v = 0) имеет бесконечный набор интегралов движения, соответствующих моментам распределения завихренности. Все они, кроме (23) и (22), пропадают при оставлении конечного числа мод.

Принимая во внимание соотношения при любом укорочении следует оставлять только независимые моды. Пусть число независимых мод

равно обозначим их Тогда укороченная система принимает вид

где каждая компонента F квадратична по . Интегралы движения и теорема Лиувилля тогда перепишутся в виде

где Б — энергия, О — энстрофия, а константы легко, определяются по конкретному способу укорочения. Используя эти обозначения, приступим к обсуждению динамики системы мод Фурье.

Как было показано, есть по меньшей мере два интеграла движения — и Q; следовательно, движение происходит на поверхности , где — поверхность постоянной энергии — поверхность постоянной энстрофии Q. Ясно, что Если обозначает индуцируемое потоком за время t отображение, то определяет динамическую систему. Подчеркнем, что существует -инвариантная (при любых t) мера на 5, абсолютно непрерывная по отношению к -мерной мере Лебега. Это

    (26)

где — -мерная мера Лебега, — угол между grad Е и grad G. Элементарный вывод подобной формулы для случая, когда энергия — единственная сохраняющаяся величина, можно найти в книге Хинчина [16], а простым обобщением получится (26).

Естественно, что - это задача с начальными данными. Поэтому, переводя высказывание типа «образование макроскопических вихрей в двумерном течении» на язык мод Фурье, получим: «существует -инвариантное множество которое в физическом пространстве можно идентифицировать как набор крупномасштабных вихрей и которое является глобальным аттрактором потока». Однако такая гипотеза определенно не верна в случае нулевой вязкости так как существование аттрактора противоречит условию -инвариантности меры . Отметим вдобавок, что точную характеристику множества X дать, несомненно, не просто.

Существует важный путь преодоления этой трудности — введение в систему малой вязкости. Этим уничтожится сохранение энергии, энстрофии и меры, но станет глобальным аттрактором. Интересные явления могут, однако, наблюдаться в промежутке между начальными условиями и

окончательным распадом; возможно, проявятся и описанные выше «аттракторы». Действуя в том же духе, можно снова ввести вынуждающую силу F в нашу модель так, чтобы сохранялись, несмотря на то что . Тогда можно будет изучать так называемый инерционный интервал, т. е. диапазон волновых чисел между очень высокими модами, где доминирует вязкость, и очень низкими, соответствующими крупным масштабам (за деталями отсылаем к лекциям Корина [4]). Конечно, такая модель должна быть многомасштабной (т. е. должно быть оставлено много мод), чтобы быть реалистичной. Пока также трудно представить, как можно ввести силу F так, чтобы она не зависела от времени. Во всяком случае -инвариантной меры не будет; может быть, это и хорошо, так как могут появиться интересные с физической точки зрения аттракторы.

Сделаем два замечания к изложенному в последних двух абзацах. Во-первых, все сказанное применимо к любой характеристике, которую только можно описать на языке модели мод Фурье. Во-вторых, противоречие между случаями и иллюстрирует возможные трудности, с которыми приходится сталкиваться при предельном переходе в уравнениях Навье—Стокса.

Теперь снова вернемся к случаю . В работе Корина [5] отмечается, что как для полной системы (14) — (15), так и для (19) — (20) существует инвариантное множество меры нуль, элементы которого суть фурье-преобразования вихрей в физическом пространстве. А именно, они определяются соотношениями

где — функция тока, а — постоянные. Пусть обозначает описанное выше инвариантное множество. Конечно, . Однако можно высказать следующую гипотезу: существует -инвариантное множество У со следующими свойствами: Это предположение может рассматриваться как замена гипотезы об аттракторе на случай и в этом его недостаток. Конкретнее, что делать с -инвариантным множеством , для которого Во-первых, можно рассматривать предел где М — число оставленных мод. Записывая вместо и У, можно предположить, что

становится пренебрежимо малым, в то время как сохраняет свое физическое значение. Во-вторых, можно стать на точку зрения, что и в (1), - это случайное поле, т. е. имеется вероятностное пространство где Q — пространство состояний и (подробности см. в [4]). В качестве Q обычно выбирают функциональное пространство, соответствующее всем возможным начальным условиям поля скорости и, и тогда мера описывает статистику турбулентного течения. Особый интерес представляет возможность построения физически интересных инвариантных относительно потока задаваемого уравнениями Навье — Стокса. Этот вопрос обсуждался Фояшем [10], который высказал предположение (а частично и доказал), что носитель Е любой такой инвариантной борелевской вероятности должен быть компактным конечномерным многообразием в Q. Тогда можно предполагать, что множество имеет малую Х-меру; с другой стороны, можно считать, что пространство состояний S в модели мод Фурье близко соответствует Е (если это не так, то, вероятно существует нетривиальное У).

Сделанные выше замечания оправдывают предположение, что у системы (24) есть инвариантные множества ненулевой меры. В частности, нам кажется, что эта система неперемешивающая и неэргодическая (см. [14]). Казалось бы, это сразу следует из гипотезы о существовании характеристик (наборов фазовых функций), которые в турбулентных течениях стремятся к определенным значениям. Но следует иметь в виду лишь доводы, приведенные в предыдущем абзаце. В частности, методами статистической механики подобные явления можно, видимо, объяснить и в эргодическом случае. В двумерных течениях, где есть дополнительный квадратичный интеграл движения, такая возможность маловероятна, но в трехмерном случае ее нельзя отвергнуть. Следовательно, наше предположение относится в основном к двумерным течениям.

Теперь сделаем ряд замечаний по поводу методологии исследования статистических свойств, таких, как эргодичность, у динамической системы. Поскольку точно решить уравнения не удается, применяют подходящую разностную схему. Фактически это замена сохраняющего меру потока последовательностью аппроксимирующих его сохраняющих меру преобразований. Вопрос о том, вносятся ли при этом не зависящие от малости шага по времени ошибки, остается спорным. Рассмотрим тест на эргодичность, заключающийся в сравнении сумм Чезаро, образованных по фазовым функциям и многим начальным точкам, с результатами интегрирования

фазовых функций по S, используя эргодическую теорему (см. [14]). Влияние аппроксимации — в замене

    (29)

суммой

где — аппроксимирует поток на интервале времени . Для фиксированного Т очевидно, что (30) — это приближение интеграла (29) суммой Римана. Так что, хотя данный метод ничего не доказывает, все же он весьма убедителен, если Т взять достаточно большим, а А - достаточно малым.

Наконец, мы приведем несколько результатов, имеющих отношение к обсуждавшимся вопросам.

1. Чорин [6] рассматривал модель мод Фурье для уравнения Бюргерса с точки зрения проверки на эргодичность и перемешивание. Брались модели с малым и средним числом масштабов (менее 20 мод). Убедительно показано, что система не эргодична.

2. Хальд [13] рассмотрел ряд систем вида (19) — (20) с очень малым числом мод в двумерном случае и действительно построил несколько интегралов движения. Следовательно, эти системы неэргодичны.

3. Ли [17, 18] утверждает, что результаты Хальда обусловлены специальным выбором оставленных мод и что в более общем случае будет эргодичность.

4. Басдеван и Садроне [1] привели аналитические и численные доказательства того, что квадратичные фазовые функции двумерной системы имеют равные временные и фазовые средние. Фазовые функции более общего вида не рассматривались.

5. Дим и Забузки [8] изучали спектры энергии и завихренности в двумерной системе (19) — (20), с учетом довольно большого диапазона масштабов (64X64 моды). Найдены две отдельные области начальных условий, которые, эволюционируя, приводят к разным спектральным распределениям. Однако так называемая «эргодическая граница» между этими двумя, множествами может оказаться просто границей между верными и неверными численными расчетами. Если это не так, то результаты надежно подтверждают гипотезу, что поток не эргодичен. Результаты этой статьи имеют отношение и

к состояниям с отрицательной температурой, обсуждавшимся в связи с вихревой моделью.

6. Наконец, приведем результат другого толка. Пусть — единичный -куб. Тогда — сохраняющий меру гомеоморфизм) есть полное метрическое пространство и эргодические преобразования составляют в нем множество второй категории. Доказательство приведено Мозером, Филипсом и Вэрэдхеном [23]. Этот результат может быть распространен на многообразия, поэтому он имеет непосредственное отношение к обсуждаемым здесь проблемам.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Basdevant С., Sadourney R. Ergodic Properties of Inviscid Truncated Models of Two-dimensional Flows, J. Fluid Mech. 69, n. 4 (1975).

[2] Batchelor G. K. The Theory of Homogeneous Turbulence, Cambridge, Univ. Press (1960). [Русский перевод с первого издания: Бэтчелор Дж. К. Теория однородной турбулентности. — М.: ИЛ, 1955.]

[3] Bowen R. A Model for Couette Flow Data, in: «Turbulence Seminar», Lect. Notes in Math. 615, Springer-Verlag (1977).

[4] Chorin A. J. Lectures on Turbulence Theory, Publish or Perish (1976).

[5] Chorin A. J. Computational Aspects of the Turbulence Problem, Proc. 2nd Int. Conf. Num. Meth. Fluid Mech., Springer (1970).

[6] Chorin A. J. Numerical Experiments with a Truncated Spectral Representation of a Random Flow, unpublished.

[7] Chorin A. J. Numerical Study of Slightly Viscous Flow, J. Fluid Mech., 57, n. 4 (1973).

[8] Deem G. S., Zabusky N. J. Ergodic Boundary in Numerical Simulations of Two-dimensional Turbulence, Phys. Rev. Lett., 27, n. 7 (1971).

[9] Ebin D. G., Marsden J., Groups of Diffeomorphisms and the Motion of an Incompressible Fluid, Ann of Math., 92 (1970). [Русский перевод в сб. Математика, 17, № 5—6 1973.]

[10] Foias С. Ergodic Problems in Functional Spaces Related to the Na-vier—Stokes Equations, Proc. Int. Conf. Funct. Anal, relat. Topics, Tokyo (1969).

[11] Fox D. G., Orszag S. A. Inviscid Dynamics of Two-dimensional Turbulence, Phys. Fluids, 16, n. 2 (1973).

[12] Gollub J. P., Swinney H. L., Onset of Turbulence in a Rotating Fluid, Phys. Rev. Lett., 35. n. 14 (1975).

[13] Hald 0. Constants of Motion in Models of Two-dimensional Turbulence, Phys. Fluids, 19, n. 6 (1976).

[14] Halmos R. P., Lectures on Ergodic Theory, Chelsea Publ. Co (1956). [Русский перевод: Халмош P. П. Лекции по эргодической теории. — М.: ИЛ, 1959.]

[15] Hopf Е. Statistical Hydromechanics and Functional Calculus, J. Rat. Mech. Anal., 1 (1952).

[161 Хинчии А. Я. Математические основы статистической механики. — М.: 1947.

[17] Lee J., How Many Isolating Constants of Motion in 2-D Turbulence, Preprint.

[18] Lee J. Isolating Constants of Motion for Homogeneous Turbulence of Two and Three Dimensions, J. Math. Phys., 16, n. 7 (1975).

[19] Lo R. K. S., Ting L. Studies of the Merging of Vortices, Phys. Fluids, 19, n. 6 (1976).

[20] Montgomery D., Two-dimensional Vortex Motion and «Negative Temperatures», Phys. Lett. 39A, n. 1 (1972).

[21] Montgomery D., Joyce G. Statistical Mechanics of «Negative Temperature» States, preprint, Dept, of Physics and Astronomy, The Univ. of Iowa (1973).

[22] Moser J. Stable and Random Motions in Dynamical Systems, Annals of Math. Stud. n. 77, Princeton Univ. Press (1973).

[23] Moser J., Phillips E., Varadhan S. Ergodic Theory: A Seminar, Courant Inst. Lecture Notes (1975).

[24] Onsager L. Statistical Hydromechanics, Nuovo Cimento Suppl. Al., v. VI, serie IX (1949).

[25] Orszag S. A. Analitical Theories of Turbulence, J. Fluid Mech., 41, n. 2 (1970).

[26] Orszag S. A. Numerical Simulation of Incompressible Flows Within Simple Boundaries I. Galerkin (Spectral) Representations, Stud. Appl. Math. L, n. 4 (1971).

[27] Seyler С. E., Jr. Thermodynamics of Two-dimensional Plasmas or Discrete Line Vortex Fluids, Phys. Fluids, 19, n. 9 (1976).

[28] Должанский Ф. В. др. Нелинейные системы гидродинамического типа. — М.: Наука, 1974.

[29] Захаров В. Е., Львов В. С. — Изв. вузов. Радиофизика, 18, с. 1470 (1975).