Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ АТТРАКТОРОВ ЛОРЕНЦАДэвид Рэнд 1. ВВЕДЕНИЕ Аттрактор Лоренца — это представитель класса странных аттракторов, предложенный в качестве наглядной модели турбулентности ([4], см. также [5]). Впервые рассмотренный Лоренцем в модельной системе, полученной из уравнений Навье — Стокса с помощью галеркинской процедуры [2], он привлек внимание математиков своими весьма интересными динамическими свойствами. Аттракторы этого типа, называемые в дальнейшем аттракторами Лоренца, особенно чувствительны к возмущениям векторного поля. Подробное описание аттракторов Лоренца дано Дж. Гуккенхеймером [1], более детальное исследование их свойств проводилось Р. Ф. Уильямсом [6]. Чувствительность аттракторов Лоренца проявляется следующим образом: любое открытое множество векторных полей, имеющих аттрактор Лоренца, содержит такое двупараметрическое семейство полей, что два любых аттрактора топологически не эквивалентны. Это семейство выделяется при помощи так называемых нидипг-рядов, которые описывают совершаемый траекториями вблизи аттрактора характерный танец вращений. Нидинг-ряды были впервые введены Дж. Милнором и У. Тёрстоном при исследовании динамических свойств некоторых эндоморфизмов интервала на действительной оси. Р. Ф. Уильямс [6] использовал этот подход при исследовании аттракторов Лоренца. В данной работе содержится ответ на некоторые поставленные в [6] вопросы, в частности показывается, что нидингряды определяют топологический тип аттрактора. Для этого мы вводим нидинг-инвариант, который хотя в основном совпадает с предложенными Уильямсом последовательностями, но все же ближе к конструкции Милнора [3]. В том случае, когда аттрактор симметричен (как в исходной модели Лоренца), мы строим кусочно-линейную модель отображения Пуанкаре и описываем некоторые свойства периодических траекторий. Опишем вкратце предложенный Уильямсом способ построения аттракторов Лоренца. Пусть L — показанная на рис. 1 ветвящаяся поверхность (ср. [6], рис. 1 и 2, стр. 138). Пусть
Рис. 1.
Рис. 2. Тогда определяемый по Конечно, фактически вся информация об аттракторе содержится в отображении Пуанкаре f, и именно его мы будем исследовать в дальнейшем. Способ перехода от 2. ОТОБРАЖЕНИЕ ЛОРЕНЦАВ последующих разделах мы будем изучать отображение Пуанкаре
Из условия 3. НИДИНГ-ИНВАРИАНТ ОТОБРАЖЕНИЯ fДля
и пусть Определение 1. Формальный степенной ряд Отображение
если первый ненулевой коэффициент в
положителен. Тогда Далее, если в
то будут существовать следующие пределы:
Определение 2. Пара В тех случаях, когда неясно, о каком отображении идет речь, будем писать Конечно, вводя это определение, мы исходим из предложенных Р. Ф. Уильямсом нидинг-последовательностей [6]. Однако следует отметить, что между двумя конструкциями есть различие: в гомоклиннческом случае, когда Отображение
если только
если только Свойства k могут быть описаны достаточно просто. Если
Но
Заметим также, что для ряда выполняется одно из трех условий:
для каждого Определение 3. Формальный степенной ряд
с коэффициентами из множества Лемма 1. Для каждого Доказательство. В доказательстве нуждается только второе утверждение. Пусть
-
так что если k непрерывно в точке
Отсюда следует, что
Из последнего соотношения получаем, что Таким образом, между периодическими допустимыми последовательностями и периодическими точками Лемма 2. Если Доказательство. Покажем, что в любом открытом интервале Пусть Для каждого i
так что Предложение Доказательство. В доказательстве нуждается только утверждение Лемма 3. Предположим, что Доказательство. Зафиксируем п. Пусть Доказательство предложения 1. Пусть Р — множество всех периодических точек в (0, 1). Тогда если 4. ЗАВИСИМОСТЬ ИНДИНГ-ИНВАРИАНТА ОТ fМножество отображений Пуанкаре, удовлетворяющих сформулированным в разд. 2 условиям, обозначим через т. Введем на
Для Предложение 2. Если Доказательство. Если
а из Итак, предположим, что
Если
для всех Следствие 1. В любом открытом подмножестве Следствие 2. В любом открытом подмножестве Замечание. Два отображения Замечание. Мы работаем здесь только с
Это как раз тот случай, который рассматривал Гуккенхеймер в [1] в связи с исследованием аттрактора Лоренца. Однако из следствия 1 ясно, что следствие 2 справедливо для любой разумной метрики, учитывающей дифференцируемость; например, для метрики, индуцированной из метрики в пространстве векторных полей, порождающих полупотоки на ветвящемся многообразии L. Поэтому после небольшой работы из предложения 1 можно вывести, что в любой векторного поля с аттрактором Лоренца имеется несчетное множество векторных полей с топологически не сопряженными аттракторами (см. [6]). 5. НИДИНГ-ИНВАРИАНТ ЯВЛЯЕТСЯ ПОЛНЫМ ИНВАРИАНТОМТеорема 1. Если Доказательство. Положим
Из равенства нидинг-инвариантов f и g следует существование сохраняющей ориентацию биекции Пусть
и Поскольку отображение Так как h совпадает с Замечание. Построенное при доказательстве теоремы 1 сопряжение сохраняет ориентацию. Если Следствие 1. Множество Доказательство. То, что множество Конечно, из теоремы следует и более сильное утверждение. Следствие 2. Два аттрактора Лоренца с
нидинг-рядов совпадают. 6. ИНВАРИАНТ РАЗРЕЗАНИЯ Числа разрезаний показывают, сколько раз интервал Определение
Инвариант разрезания отображения
Теорема 2. В Z [[f]]
Доказательство. Функция
Устремляя
откуда сразу следует утверждение теоремы. Скорость роста чисел Лемма Доказательство. Поскольку Имеем
Но
Следовательно,
откуда сразу получаем, что 7. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ТОЧКИ СИММЕТРИЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯПредположим, что Если
и если для всех
то ряд
Отсюда сразу следует, что если
Таким образом, мы получили следующее Предложение 3. Если
с коэффициентами из Определение 6. Формальный степенной ряд
назовем самодопустимым, если при всех
Мы приведем сейчас несколько примеров самодопустимых рядов. Следующие замечания в значительной степени -принадлежат Л. Джонкеру. Примеры. (1) Пусть
периодично с периодом (2) Если
Тогда Теорема (ii) Предположим, что (iii) Ряды а
Доказательство. Мы докажем только Предположим, что Тогда всех Я хотел бы отметить, что многим обязан работам Гуккенхеймера, Уильямса и Милнора, и поблагодарить Дэвида Фаулера, Лео Джонкера и Кристофера Зимана за ряд полезных обсуждений, касавшихся аттрактора Лоренца. Замечание. После завершения данной статьи автор получил препринт Гуккенхеймера, в котором другим способом доказана теорема 1. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|