ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Александр Чорин

Важной причиной изучения качественных особенностей турбулентности методами чистой математики является то, что на этом пути может быть найдено обоснование статистических процедур, применяемых инженерами при решении практических задач теории турбулентности. Предположение о суще-: ствовании среднего поля скорости, эволюция которого описывается уравнениями, полученными при усреднении уравнений Навье — Стокса, требует строго доказательства того, что оно приводит к корректно поставленной задаче, имеющей решение.

С физической точки зрения использование более ранних аналитических теорий турбулентности, согласно которым причина возникновения турбулентности связана с возможным нарушением уравнений Навье — Стокса, необоснованно. Турбулентные течения жидкости очень хорошо удовлетворяют гипотезам, используемым при выводе уравнений Навье — Стокса из законов Ньютона. В частности, масштаб самых маленьких вихрей, имеющихся в турбулентном течении, по крайней мере на три порядка больше длины среднего свободного пробега для жидкости, за исключением весьма специальных случаев..

Гипотеза Ландау и Хопфа о том, что турбулентность может быть описана как квазипериодическое решение уравнения Навье — Стокса, не подтверждается, так как подобные потоки обладают признаками, несовместимыми со свойствами реальной турбулентности.

В то время как ранние попытки аналитического описания турбулентности не приводили к цели, недавние работы по

теории динамических систем, по-видимому, качественно соответствуют тому, что мы наблюдаем в реальном мире. В некоторых естественных случаях мы видим бифуркации и затем возникновение турбулентности, т. е. нечто, напоминающее странные аттракторы. Аппарат теории динамических систем еще недостаточно хорошо развит, чтобы изучаемые при помощи него модели более точно отражали свойства реальных турбулентных течений. Например, система, рассмотренная Лоренцем, является моделью конвекции при малых числах Рэлея, которая не обнаруживает каскадной передачи энергии в область больших волновых чисел, так как мелкомасштабные движения демпфируются полем силы тяжести. Таким образом, встречается и «турбулентность», имеющая только один масштаб движения. Реальная турбулентность характеризуется качественно различными типами движения с рядом различных масштабов. Модель динамо Рикитаке) также имеет лишь косвенное отношение к настоящей турбулентности, так как она возникла из задачи, в которой множество стационарных решений уравнений плотно в множестве всех решений. Далее, неясны, но весьма значимы эффекты, возникающие из-за обрезания полной системы уравнений. Однако ограниченность подхода теории динамических систем обусловлена не только отсутствием достаточно сложной модели, отражающей большинство свойств турбулентного потока. От этого подхода нельзя ожидать получения количественных результатов для определенного конкретного потока, основываясь только на этих общих методах.

Перейдем непосредственно к обсуждению количественных аспектов турбулентности. Уравнения Навье — Стокса, описывающие течение несжимаемой жидкости, движущейся со скоростью и в области D с границей имеют вид

Если вязкость v велика, то, вообще говоря, мы имеем ламинарное, т. е. гладкое упорядоченное, течение. Когда v становится достаточно малой, течение становится совершенно хаотичным, и мы не в состоянии его детально описать. В этом случае мы стараемся вычислить средние характеристики поля течения.

Уравнения для средней скорости U могут быть получены при помощи представления поля скорости в виде и, где (черта сверху означает усреднение). Подставляя

это выражение в уравнения Навье—Стокса и затем усредняя, получаем, например, уравнения для моментов:

Эти уравнения формально идентичны уравнениям Навье — Стокса, за исключением последнего члена, содержащего квадратичные моменты скоростей . Эти средние являются дополнительными неизвестными в уравнениях движения. Умножая уравнения Навье — Стокса на и и усредняя, можно получить уравнения, описывающие эволюцию вторых моментов, через средние от тройных произведений компонент скорости, для нахождения которых нужно использовать новые уравнения. Если этот процесс продолжить и дальше, то мы получим бесконечное число уравнений с бесконечным числом неизвестных. Ясно, что мы не можем решить эту задачу, не вводя какой-либо гипотезы замыкания, с помощью которой иерархия уравнений и неизвестных обрезается путем введения связи между средним произведения скорости в некоторой точке с произведениями более низкого порядка. Одно из предположений, которое использовалось в этой связи, состоит в том, что четвертые моменты и так связаны со вторыми моментами, как если бы а были гауссовскими случайными величинами . У этого предположения нет физического обоснования, и в действительности оно иногда приводит на практике к неудовлетворительным результатам. Подобные гипотезы не учитывают условий реализуемости, налагаемых моментами низших порядков. Если заданы первые моментов (т. е. средние степеней функции), то (я момент обязан удовлетворять определенным неравенствам (простейшим примером такого неравенства является Если предположения о моментах приводят к нарушению этих неравенств, то мы получаем задачу, не имеющую решения. Тем не менее существует бесконечное число течений, которые могут быть изучены при помощи процедуры замыкания, и хотелось бы найти разумное замыкание, соответствующее физической природе турбулентности.

Рассмотрим признаки, по которым различаются ламинарные и турбулентные течения. Существуют два основных различия. Первое состоит в том, что в турбулентном течении значительно более силен процесс зарождения завихренности на границе потока. Как в ламинарном, так и в турбулентном потоке завихренность зарождается на границе. В ламинарном

потоке она распространяется в жидкость под действием молекулярной диффузии и в результате разделения области течения на несколько строго определенных областей. В турбулентном потоке вихревой слой на границе исключительно тонкий, неустойчивый и выбрасывается в жидкость в результате процессов, зависящих только от его собственной динамики. Эти процессы рандомизируются в результате причин, природа которых пока еще неясна.

Второе основное различие между ламинарными и турбулентными течениями состоит в значительно более высокой степени диссипации энергии в турбулентных потоках. Турбулентность даже может рассматриваться как такое движение, которое с необходимостью должно возникнуть в жидкости для того, чтобы передаваемая ей кинетическая энергия могла перераспределиться под действием вязкости.

Рассмотрим полную кинетическую энергию жидкости, содержащейся в D, т. е. Если никакие внешние силы, действующие на жидкость, не увеличивают ее кинетической энергии, то

Откуда следует в силу положительности v, что полная кинетическая энергия уменьшается (т. е. превращается во внутреннюю энергию молекулярного движения) благодаря работе вязких сил по деформации частиц жидкости. При течение становится все более турбулизованным, и при этом растет величина диссипации энергии Из уравнения (1) вытекает, что это может иметь место, только если возрастают градиенты поля скорости, т. е. жидкость все более перемешивается.

В последние годы становится все более и более ясным, что для турбулентных течений очень важна их структура и любая теория турбулентности обязана учитывать наличие и динамику этой структуры. Существование такой упорядоченной структуры в хаотическом движении обусловливает наличие областей интенсивной концентрации завихренности, грубо говоря, вихревых трубок и вихревых слоев. Пограничные слои могут рассматриваться как очень неустойчивые вихревые слои, неустойчивость которых проявляется в порождении ими вихревых трубок. Эти вихревые трубки отрываются от границы и поднимаются под действием индуцированного ими самими поля скорости и растягиваются быстро движущимся внешним течением. Так как вихревые трубки растягиваются,

то их завихренность сосредоточивается в меньшей области и тем самым становится более концентрированной, что приводит к порождению более быстрого вихревого движения в малых физических масштабах. Так как завихренность порождается только на границах, то в потоке она имеет возможность собраться в вихревые трубки, которые затем растягиваются и передают свою энергию движениям малых масштабов.

Передача энергии от движений больших масштабов движениям малых масштабов посредством растяжения вихрей называется каскадом энергии. Этот процесс приводит к увеличению диссипации, так как в области больших волновых чисел диссипация больше (это вытекает из вида диссипативного члена ). Этот процесс традиционно рассматривается в пространстве волновых чисел при помощи функции плотности энергии которая определяется следующим образом:

где - преобразование Фурье корреляционной функции эйлеровых скоростей , а по повторяющимся индексам производится суммирование. Отметим, что есть кинетическая энергия единицы массы. Отсюда, используя определение , получаем, что полная энергия

График дает картину распределения энергии турбулентного движения по различным масштабам, т. е. спектр энергии. Типичная кривая такова:

Рис. 1.

Стрелка указывает на инерционный подынтервал.

Она показывает, что большая часть энергии сосредоточена в области малых волновых чисел, т. е. содержится в самых

больших вихрях. Можно предположить, что энергия поступает в жидкость при малых k. Затем переходит по каскаду к все более и более мелким вихрям с помощью механизма растяжения вихрей до тех пор, пока она не диссипирует в области больших волновых чисел вследствие вязкости.

Важный вклад в теорию каскадного процесса был внесен А. Н. Колмогоровым, предположившим, что при достаточно больших числах Рейнольдса должен существовать промежуточный интервал волновых чисел, в котором энергия не диссипирует и не продуцируется, а только передается к большим волновым числам. Этот интервал значений k называется инерционным подынтервалом. Если предположить, что единственными параметрами, определяющими являются скорость диссипации энергии и волновое число k, то при помощи анализа размерностей можно показать, что

Колмогоров считал, что этот результат является универсальным, т. е. имеет место для всех турбулентных течений. К сожалению, в настоящее время распространенное мнение таково, что эта гипотеза справедлива не всегда. Представляется, что каждое отдельное турбулентное течение обладает каскадом энергии, присущим только ему одному.

Следующее рассуждение, принадлежащее фон Карману, показывает, что турбулентное течение в пограничном слое обладает свойствами, которые присущи колмогоровской картине турбулентности в физическом пространстве. Рассмотрим следующее течение:

Рис. 2.

Можно предположить, что энергия, продуцируемая внешним течением посредством ускорения жидкости силами давления, проходит по каскаду через равновесную область (аналогичную инерционному подынтервалу) и диссипирует в малой

вязкой области около стенки. Фон Карман предположил, что течение в этой промежуточной области зависит только от у — расстояния до стенки, напряжения сдвига на стенке и от плотности жидкости . Используя, как и раньше, анализ размерностей, можно получить, что

где скорость трения, константа. Разрешая это соотношение относительно U, получаем известный логарифмический закон для течения в пограничном слое:

Важно подчеркнуть то общее, что имеется в рассуждениях Колмогорова и фон Кармана: оба относятся к завихренности, оба носят общий характер, оба не касаются непосредственно существа физического механизма, о котором идет речь, и, наконец, оба относятся к существенному интервалу масштабов, лежащему между большими наблюдаемыми масштабами и малыми масштабами, где имеет место диссипация. В промежуточном масштабе можно ожидать наличия хаотического поведения и поэтому можно надеяться, что идеи теории динамических систем смогут пролить свет на причины, благодаря которым рассмотренные два закона иногда имеют место для реальных течений. Свойства этих масштабов определяют «лишние» неизвестные в усредненных уравнениях.

Мы теперь обратимся к проблеме использования подобной информации о промежуточных масштабах для замыкания усредненных уравнений Навье — Стокса. Простейший способ состоит в использовании длины перемешивания или моделей вихревой вязкости. По аналогии с кинетической теорией газов можно предположить, что

или

где — «вихревая вязкость», а — «длина перемешивания» (аналогичные в некотором смысле молекулярной вязкости и средней длине свободного пробега). Величины не являются постоянными и являются скорее свойствами течения, чем свойствами жидкости. Можно предъявить выражения для и I, которые обеспечивают справедливость закона Колмогорова и закона фон Кармана для решений, получившихся

в результате уравнений. Дополнительная информация о величине и I получена из эксперимента.

Существуют более сложные методы замыкания усредненных уравнений Навье — Стокса. Все они основываются на экспериментальных данных и на не совсем ясных физических и математических предположениях. Теоретически в этом случае возрастающее качественное понимание динамики турбулентности приведет к более изощренному использованию экспериментальных данных для получения более правдоподобной и полезной процедуры замыкания. Проблемы динамики вихрей являются решающими для всей этой программы. В этом направлении недавно был достигнут некоторый прогресс.

Несколько слов в заключение. Я показал, что усредненные уравнения содержат неизвестные члены, зависящие от флуктуаций малых масштабов. Я привел некоторую наиболее правдоподобную информацию об этих малых масштабах (представляется, что для этих масштабов применима теория динамических систем) и коротко наметил, как эта информация может быть использована для построения замыкания (т. е. нахождения уравнений с таким числом неизвестных, чтобы эти уравнения были разрешимы). Не существует общепринятого способа для реализации этого последнего шага в основном из-за проблемы выбора одного из близких масштабов, обладающих, возможно, различными качественными и математическими свойствами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

В дополнение к стандартному для данной тематики списку литературы для читателя могут представить интерес следующие работы:

1. Bernard P. Ph. D. Thesis, Berkeley, 1977.

2. Bradshaw P. The understanding and prediction of turbulent flow, Aeronautical Journal, v. 1, p. 403 (1972).

3. Chorin A. J. Numerical Study of Slightly Viscous Flow, J. Fluid Mech., v. 17, p. 785 (1973).

4. Kraichnan R. H. The closure problem of turbulence theory. Proc. Symp. Applied Math., v. 13, p. 199 (1965).

5. Tennekes H, Lumley J. L. A First Course in Turbulence, М. I. T. Press, (1972).

6. Willmarth W. W. Structure of turbulent boundary layers, Adv. Applied Mech., v. 15, p. 159 (1975).

7. Колмогоров A. H. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очеиь больших числах Рейнольдса, ДАН СССР, 30, № 4, 299—303.

8. Колмогоров А. Н. Рассеяние энергии при локально изотропной турбулентности, ДАН СССР, 32, № 1, 19—21.

9. Колмогоров А. Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости, Изв. АН СССР, физ. сер., 6, № 1—2, 56—58.