ПРЕДТУРБУЛЕНТНОСТЬ: РЕЖИМ, НАБЛЮДАЕМЫЙ В ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ, ОПИСЫВАЕМОЙ МОДЕЛЬЮ ЛОРЕНЦА

Д. Л. Каплан, Дж. А. Йорке

§ 1. ВВЕДЕНИЕ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Известно много попыток найти математический подход к описанию явления турбулентности в жидкости. В типичных случаях поведение жидкости может быть описано системой обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящих от параметра . Параметр , как правило, соответствует либо числу Рэлея, либо числу Рейнольдса. (Более подробное обсуждение различных интерпретаций турбулентности см. в [1]).

Одна из наиболее интригующих моделей такого типа была изучена Лоренцем [2]. Он рассматривал диссипативную систему с накачкой

Эти обыкновенные дифференциальные уравнения представляют собой аппроксимацию системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих конвекцию с конечной амплитудой, возникающую в слоях жидкости подогреваемой снизу. Система (1.1) получится, если неизвестные функции в системе дифференциальных уравнений в частных производных разложить в ряды Фурье и все полученные коэффициенты Фурье, за исключением трех, положить равными нулю. При Лоренц нашел путем численных расчетов, что решения системы (1.1) ведут себя «хаотически», как только число Рэлея становится больше критического значения Это означает, что все решения неустойчивы и почти все из них апериодичны, хотя существует бесконечное число периодических решений с различными периодами. Хаотическое поведение и чувствительная зависимость

от начальных условий решений дифференциальных уравнений обеспечивают основной механизм появления турбулентности. Гукенхеймер [3] указал пример динамической системы, поведение траекторий которой топологически эквивалентно поведению траекторий в системе Лоренца; однако система Гукенхеймера более легко поддается изучению. Вильямс [4] исследовал картину вращения и зацепления траекторий этих потоков. Аналоги этих систем в высших размерностях изучались в [5, 6].

Цель настоящей статьи показать, что состоянию хаотического поведения траекторий предшествует «предтурбулентное состояние», при котором турбулентные траектории существуют, но образуют тощее множество (меры нуль) в пространстве начальных условий. Лоренц исследует динамику хаотического поведения траекторий; мы же задаемся вопросом, из чего возникает хаос. Наша методика состоит в использовании информации о поведении траекторий системы за некоторый небольшой период времени, полученной с помощью численных расчетов и описанной в § 2, с тем чтобы предсказать поведение отдельных особых траекторий на все будущее время. В частности, мы покажем, что фактически хаотическое поведение возникает уже при , большем, чем Значение есть наименьшее значение , при котором система (1.1) обладает гомоклиническими траекториями (т. е. ограниченными непериодическими траекториями , предельные множества которых совпадают). Обоснование этого вывода, которое мы дадим в § 3, основано на рассуждениях, подобных тем, которые использовались Смейлом при построении его знаменитой подковы [7], [8]. В некотором смысле результатом возникновения гомоклинических траекторий является то обстоятельство, что система (1.1) содержит «разрывную подкову». При периодических траекторий не существует, однако уже при со сколь угодно малым существует бесконечное число периодических траекторий и бесконечное число ограниченных траекторий, которые не стремятся асимптотически к какой-либо неподвижной или периодической траектории.

Определение 1.1. Пусть X — метрическое пространство с метрикой отображение.

Назовем множество инвариантным, если .

Назовем множество С устойчивым (по Ляпунову), если для каждого существует такое , что из условия

следует, что для каждого целого положительного (т. е. «если начальная точка достаточно близка к множеству С, то она и останется вблизи С.

Назовем множество С притягивающим (или аттрактором), если для каждой точки достаточно близкой к множеству стремится к С, т. е. при

Столь четкое разграничение понятий притяжения и устойчивости естественно при изучении топологической динамики и динамических систем. Необходимость такого разграничения понятий иллюстрируется хорошо известным примером дифференциального уравнения на торе построенным Данжуа [9]. В этом примере существует непустое связное компактное инвариантное множество которое не является ни точкой, ни периодической траекторией (на самом деле оно не содержит ни одной неподвижной точки и ни одной периодической траектории), но оно является аттрактором (в смысле данного выше определения). Следовательно, это множество является «странным аттрактором». Странный аттрактор в определении Рюэля и Такенса — это, по существу, любое связное компактное притягивающее множество, не являющееся ни неподвижной точкой, ни периодической траекторией, ни поверхностью произвольной размерности. Вообще говоря, странный аттрактор неустойчив. Странные аттракторы, построенные Рюэлем и Такенсом [10], Гукенхеймером [3], а также, по-видимому, и странный аттрактор, построенный Лоренцем, являются устойчивыми; их следовало бы называть устойчивыми странными аттракторами. В виду отсутствия общего определения турбулентности трудно сказать, вытекает ли из существования странного аттрактора турбулентное поведение траекторий, но как было отмечено Рюэлем и Такенсом, наличие странного аттрактора приводит к нерегулярному и хаотическому поведению траекторий. Отметим, что название «странный аттрактор» объясняется скорее формой или геометрией инвариантного множества, чем связанной с ним динамикой поведения траекторий. Напротив, появление большинства примеров требует более

детальной классификации, основанной скорее на свойствах динамики, чем на форме инвариантного множества. В частности, Лоренц утверждал, что он наблюдал странный аттрактор при исследовании отображения . В некоторых его примерах траектории всех точек интервала проявляли хаотические свойства. Разумеется «форма» интервала ничего не может нам сказать о динамических свойствах отображения т.

Мы скажем, что множество С внутренне неустойчиво, если каждая траектория, лежащая в С, неустойчива по Ляпунову, даже если мы ограничимся рассмотрением лишь тех траекторий, которые лежат в С. Более того, для каждого существует и последовательность точек такие, что для. каждого можно указать такое для которого .

Мы скажем, что компактное инвариантное множество С хаотично, если оно внутренне неустойчиво и существует всюду плотная в С траектория; т. е. при некотором замыкание множества совпадает с С. Если множество С имеет хотя бы одну всюду плотную траекторию, то траектории «большинства» точек в С всюду плотны, причем «большинство» означает, что такие точки содержат множество второй категории в смысле Бэра (см. [11], теорема 9.20). В примере «подковы», построенном Смейлом (см. [7 или 12, гл. 4]), имеется хаотическое множество, которое не является ни устойчивым, ни притягивающим. В этой статье мы покажем, что при определенном «предтурбулентном» значении параметра в системе Лоренца имеется хаотическое множество, которое, по-видимому, не является ни устойчивым, ни притягивающим. Отметим что отображения, удовлетворяющие аксиоме могут иметь аттракторы, которые внутренне неустойчивы.

Мы скажем, что поток имеет хаотическое множество, если таковое множество имеется у отображения Пуанкаре некоторой трансверсальной к потоку площадки.

Структуру странного множества мы объясним подробно для значений параметра , лишь немного превосходящих критическое значение однако мы также опишем, что, как нам кажется, происходит, когда меняется в более широких пределах. Хаотическое множество, которое мы наблюдаем, состоит из седловых траекторий, начальные значения которых образуют канторово множество в пространстве начальных данных. При возрастании параметра от до хаотическое множество увеличивается без каких-либо

изменений в своей топологической структуре. (Это полностью противоречит наблюдаемому при бесконечному числу различных по своим топологическим типам хаотических устойчивых аттракторов [13].)

Переход к турбулентности. Описываемые ниже численные результаты были получены совместно с Э. Йорке. Для любой начальной точки (при заданном значении ) положим равным числу перемен знака функции где — координата, отвечающая угловой скорости. По существу, это есть число переходов траектории от вращения вокруг одной критической точки к вращению вокруг другой. Для различных значений мы выбрали случайным образом большое число точек, лежащих в окрестности непритягивающего хаотического множества. При достаточно больших значениях результаты численного счета обнаруживали удивительную дихотомию. В то время как для большинства из выбранных случайным образом точек значение равно 4 или 1, для большого числа других точек наблюдались большие значения . В частности, для точек, лежащих в окрестности любой из трех критических точек, значение равно 0 или 1. Точки, для которых значение не равно 0 или 1, распределяются в первом приближении в соответствий с (дискретным) экспоненциальным распределением, среднее значение которого, по всей видимости, стремится к при При среднее значение превосходит 100, но для , близких к 24, время вычислений, необходимое для получения хорошей статистики, становится недопустимо большим, и это есть именно та область значений , которая представляет наибольший интерес.

Для значений , немного меньших, чем 24.06, мы наблюдаем «метастабильный хаос», т. е. хаотическое поведение проявляется в течение большого, но конечного времени. Физически наше предтурбулентное состояние отвечает такому состоянию, когда имеется притягивающее множество (две устойчивые притягивающие точки) и дополнительная область, в которой траектории хаотически осциллируют. Наблюдаемые траектории ведут себя так, как если бы половину времени они проводили в хаотической области; отметим, что знание величины времени Т, в течение которого наблюдается траектория в хаотическом режиме, не позволяет нам предсказать, как долго траектория останется еще в этом режиме. При происходят незначительные изменения метастабильной хаотической области, окружающей странное множество.

Для почти каждая точка хаотической области будет со временем стремиться к одной из притягивающих критических точек, но среднее число осцилляций, которые предварительно сделает соответствующее решение системы (1.1), весьма велико. Как только превосходит значение это среднее число становится равным бесконечности и «внезапно» нечетко определенная хаотическая область превращается в притягивающий странный аттрактор. Роббинс в [13] исследует переход к турбулентности и обнаруживает (в численных экспериментах) в системе Лоренца и в похожих системах решения, которые, прежде чем стабилизироваться, все время осциллируют. Значения параметра, при котором она проводила вычисления, соответствуют у нас значениям , немного меньшим, чем Основываясь на анализе кусочно-линейных отображений вещественной прямой, используемых для аппроксимации динамики поведения траекторий системы Лоренца, Роббинс [13, § 3] установила, что (в переводе на наши обозначения) для всех существует неустойчивая периодическая траектория в согласии с тем, что обнаружено нами. Она установила, что для достаточно больших значений , лежащих в интервале существуют решения, которые не стремятся к какому-либо устойчивому стационарному решению и с ростом «множество таких траекторий может стать несчетным». Ее результаты не согласуются с нашими при значениях , близких к Однако в этом случае состояние метастабильного хаоса может наблюдаться физически: Кревелинг и др. сообщили о численном решении уравнений Навье — Стокса для исследования потока жидкости в трубе, причем наблюдались такие решения, которые делали свыше ста осцилляций прежде, чем эти осцилляции становились регулярными и затухали. Метастабильные хаотические режимы в физических системах могут проявлять себя как турбулентные, они могут сохраняться в течение долгого времени. В частности, трудно определить, будет ли наблюдаемое в численном эксперименте хаотическое состояние турбулентным или метастабильным. Лоренц рассматривал переход при так как при этом критическом значении параметра перестают существовать две области притяжения каждой из неподвижных точек, отличных от начала координат. Мак-Кракен [15, стр. 141—148] показал, что при эти неподвижные точки неустойчивы. Маклоглин и Мартин [5] высказали точку зрения, согласно

которой природа этой бифуркации заключается в «немедленном переходе к турбулентности», при этом, как нам кажется, недооценивается тот факт, что хаотический режим возник ранее при значении параметра, равном п.

Таблица 1 (см. скан)

§ 2. ОПИСАНИЕ СИСТЕМЫ ЛОРЕНЦА

Для того чтобы установить характер асимптотического поведения решений системы (1.1), нам необходимо сначала провести детальное описание ее траекторий, основанное на

численных расчетах. Эти расчеты проводились на UNIVAG 1108. Следуя Лоренцу, мы возьмем .

При существуют 3 устойчивых стационарных решения:

и

Неподвижная точка 0 имеет двумерное устойчивое многообразие и одномерное неустойчивое, в то время как для каждая из неподвижных точек с и с имеет одномерное устойчивое многообразие и двумерное неустойчивое.

Рис. 1.

На рис. 1 изображена проекция некоторой траектории на плоскость при значении параметра . Эта траектория ведет себя как спираль, разматывающаяся от одной неподвижной точки (см. рис. 1) до тех пор, пока ее расстояние от этой неподвижной точки не станет больше некоторого критического значения. После этого Она начинает вращаться вокруг другой неподвижной точки, размах осцилляций увеличивается до тех пор, пока расстояние до второй неподвижной точки не станет больше критического значения. После ряда таких перескоков траектория попадает в область притяжения точки

хотя эта часть траектории на рисунке не показана. При траектория может вечно осциллировать вокруг точек с и как описано выше и изображено на рис. 1.

Для того чтобы уменьшить размерность в нашей задаче, перейдем к отображению Пуанкаре Рассмотрим плоскость содержащую точки . Эта плоскость изображена на рис. 2.

Рис. 2. Линия пересечения устойчивого многообразия точки 0 плоскостью . Отображение не определено и разрывно на этой кривой.

Линия пересечения устойчивого многообразия точки 0 с плоскостью представляющая собой почти прямую линию, является кривой разрыва отображения (на этой кривой отображение не определено).

Рассмотрим точку Р в плоскости, и пусть обозначает первую точку пересечения траектории, проходящей через Р, с плоскостью в окрестности которой вдоль этой траектории значение z убывает . Последовательные образы точки Р под действием отображения стремятся к линии L вдоль некоторых кривых . Более того, так как

неподвижные точки неустойчивы, точка расположена на кривой у дальше от точки с, чем точка Р. Кривая L есть кривая разрыва отображения Траектории, проходящие через точки, лежащие на линии L, стремятся к неподвижной точке 0. Подробное обсуждение поведения траекторий системы (1.1) при имеется в статье Лоренца [2]. Описание отображения Пуанкаре при дано в недавней работе Рюэля [16].

Рис. 3.

Как указывалось выше, мы рассматриваем поведение траекторий при значениях параметра , больших, чем критическое значение

Мы снова рассмотрим проекцию траекторий системы (1.1) на плоскость . При соответствующая картина поведения траекторий изображена на рис. 3.

Заметим, что поскольку система (1.1) не меняется при преобразовании координат

то достаточно рассматривать только траектории, связанные с неподвижной точкой с. Соответствующие траектории, связанные с точкой с, могут быть получены при помощи симметрии. Неподвижные точки с и с асимптотически устойчивы при

При проекция траекторий системы (1.1) на плоскость имеет совершенно иной вид. Неподвижная точка с (а также, конечно, и точка с) является еще асимптотически устойчивой (для ). Ее область притяжения представляет собой теперь внутренность неустойчивой периодической траектории. При проекция на плоскость неустойчивой траектории, выходящей из точки 0, может пересечь ось z, после чего она начинает спирально втягиваться в точку с (рис. 4).

Сравнение рисунков 3 и 4 в сочетании с непрерывной зависимостью решений от параметра показывает, что должно существовать переходное значение , которое мы обозначили через и для которого (1.1) имеет гомоклинические траектории. Грубо говоря, это есть то значение параметра , при котором происходит переход от ситуации, изображенной на

рис. 3 (траектории, начинающиеся в окрестности начала координат в конечном счете закручиваясь, втягиваются в точку с), к ситуации, изображенной на рис. 4 (те же траектории проходят мимо оси z). В плоскости при имеет место картина, изображенная на рис. 5.

Рассмотрим отображение Пуанкаре плоскости в тот момент, когда значение параметра равно Кривая L по-прежнему представляет собой пересечение устойчивого многообразия точки 0 с плоскостью и является кривой разрыва отображения

Рис. 4.

Образ точки Р, расположенной на кривой у, будет также лежать на этой кривой, но ближе к точке с. Это иллюстрируется рис. 5, из которого видно, что точка с притягивает все траектории, начинающиеся «внутри» гомоклинической траектории; мы могли бы рассмотреть поверхность, содержащую точку с и спирально закручивающуюся в нее траекторию.

Точка Q, расположенная на том же расстоянии от кривой L, что и точка Р, но не лежащая на кривой у, будет переходить под действием в точку находящуюся очень близко от точки (Ниже мы укажем, почему это расстояние будет достаточно малым.)

Далее рассмотрим отображение Пуанкаре плоскости при значении параметра , немного большем, чем (проекция траекторий на плоскость , отвечающая этому

(см. скан)

Рис. 5.

(см. скан)

Рис. 6.

случаю, изображена на рис. 4.) Точка лежащая на кривой у достаточно близко к точке с, отображается в точку, расположенную на той же кривой у ближе к точке с, так как точка с асимптотически устойчива. Однако точка лежащая достаточно близко к кривой L, отображается в точку, находящуюся по другую сторону от кривой L. Это происходит потому, что траектория, начинающаяся в точке Р, лежащей достаточно близко к устойчивому многообразию точки О, должна пройти очень близко от начала координат.

Рис. 7. Отображение Пуанкаре плоскости .

Но, как видно из рис. 4, любая траектория, проходящая достаточно близко от точки 0, должна миновать ее устойчивое многообразие.

Параметризуем теперь кривую у длиной дуги, взяв точку пересечения кривых у и L в качестве начала отсчета. Для любой точки Р, лежащей на кривой у, обозначим через длину отрезка кривой у, заключенного между кривой L и точкой Р, причем будем считать положительным, если точка Р расположена с той же стороны от кривой L, что и точка с. Легко видеть (рис. 7), что

в то время как

В силу теоремы о промежуточном значении должна существовать точка Р, лежащая на кривой у между точками для которой

Но так как а — взаимно-однозначная функция точки Р, то это эквивалентно тому, что

Существование такой неподвижной точки у. отображения Пуанкаре означает существование периодического решения у системы

Мы опишем другой подход к изучению вопроса о существовании периодических решений системы (1.1) в случае, когда . Этот метод имеет два основных преимущества по сравнению с предыдущим:

(1) Нам потребуется рассмотреть отображение лишь в окрестности кривой L, вместо того чтобы рассматривать это отображение вдоль всей кривой у. Локальные же свойства отображения легко устанавливаются численно путем простого интегрирования системы (1.1) с помощью ЭВМ.

(2) Наш новый подход окажется весьма общим и позволит нам в следующем параграфе установить существование как бесконечного числа периодических решений различных периодов, так и несчетного числа апериодических решений.

Рассмотрим область А, изображенную на рис. 8 и приблизительно представляющую собой прямоугольник. Одна сторона А длины лежит на кривой L и имеет в качестве своего центра точку пересечения кривых L и у. Обозначим концы этой стороны через соответственно. Другая сторона прямоугольника А параллельна и находится от нее на расстоянии Две короткие стороны прямоугольника нормальны к кривой L в точках соответственно. Здесь — достаточно малое положительное число.

Что будет образом области А под действием отображения Ф? Заметим, что образ точки — точка — лежит гораздо ближе к точке с и к кривой у, чем сама точка Точка расположена по другую сторону от кривой у симметрично точке

Отображение не определено на кривой L, так что мы не можем найти точки Однако мы можем определить где пределы берутся

по некоторым последовательностям точек лежащих в А и стремящихся к точкам Рассмотрим сначала точку лежащую в области А вблизи точки Р. Под действием потока она перейдет в некоторую точку, расположенную вблизи начала координат. Если точка была взята достаточно близко к кривой L, то как мы уже видели (см. рис. 4), ее траектория пройдет мимо устойчивого многообразия точки 0, так что точка будет располагаться по другую сторону от кривой L.

Рис. 8.

Подобные соображения применимы к точке Более того, чем ближе точки к кривой L, тем ближе их траектории будут подходить к началу координат. Отсюда следует, что образы точек под действием отображения могут стать сколь угодно близкими, если сами эти точки выбраны достаточно близко к кривой L. Подчеркнем, что точки ничем не отличаются друг от друга (нужно только помнить, что они лежат на кривой L). Из сказанного выше следует, что существует такая точка Q (совпадающая с точкой пересечения неустойчивой сепаратрисы нуля с плоскостью что

Отметим, что из-за (2.2) вынуждены полагать не может быть слишком мало). В противном случае тоже будут лежать вблизи 0.

Заметим, что множество имеет существенно меньшую площадь, чем А. На рис. 8 площадь меньше площади , но все же намного больше, чем это имеет место в действительности. Лоренц отметил, что дивергенция векторного поля, соответствующего системе (1.1) постоянна; следовательно, поток, определяемый этой системой уменьшает объем в пространстве в постоянное число раз, равное

Для выбранных нами значений параметров это число равно — 13,7, что означает очень большую скорость сжатия. Поскольку с того момента, как траектория, начинающаяся в плоскости снова пересечет эту плоскость, проходит время, немного большее 1, то площадь множества будет приблизительно в раз меньше, чем площадь А. Это объясняет, почему чертеж, изображенный на рис. 8, не выполнен в нужном масштабе.

Односторонний предел (2.2) позволяет нам определить отображение на всем множестве А. Теперь, как непосредственно видно из рис. 8, на множестве А определены все степени отображения , и поэтому это отображение должно иметь неподвижную точку, принадлежащую А. Это находится в полном согласии со сказанным выше.

Замечание 2.1. Рассмотрим «подпрямоугольник» Так как две его стороны лежат соответственно на отрезках то мы получим, что множество вытягивается в направлении, трансверсальном А, подобно тому, как это было с множеством

Далее мы взяли четыре четырехугольника А, В, С и D и численно вычислили их образы под действием отображения Пуанкаре аналогично тому, как было описано выше. Результаты наших вычислений приведены на рис. 10. Подчеркнем еще раз, что эти результаты получены путем численных расчетов.

В следующем параграфе мы покажем непосредственно, что из приведенных выше построений вытекает существование как бесконечного числа периодических решений системы (1.1) с различными периодами, так и несчетного числа апериодических траекторий.

(см. скан)

Рис. 9.

(см. скан)

Рис. 10.

Замечание 2.2. Известный пример «подковы» Смейла [7, 8] показывает, что если g — диффеоморфизм плоскости, обладающий трансверсальной гомоклинической траекторией, то он должен иметь инвариантное множество типа подковы. Более точно, существует прямоугольник R, который вытягивается в горизонтальном направлении и сжимается в вертикальном, пересекая R так, как это показано на рис. 11. Здесь и т. д. Существование подковы в свою очередь влечет, что отображение g должно иметь как бесконечное число периодических точек различных периодов, так и несчетное число апериодических точек.

Рис. 11.

Действительно, при анализе подковы можно ограничиться рассмотрением отображения g не на всем прямоугольнике R, а лишь на подпрямоугольниках А и В, выбранных таким образом, что .

Это обстоятельство было удачно использовано Гукенхаймером, Остером и Ипэкчи [17] при изучении ими различных многомерных схем. Они обнаружили путем численных расчетов существование «перекрученной подковы». Прямоуголь: ник R, по-прежнему, вытягивался в горизонтальном направлении и сильно сжимался в вертикальном. Далее, он перекручивался в середине прежде, чем пересечься с прямоугольником R по двум компонентам.

Согласно сделанному выше замечанию, перекрутка не имеет значения при анализе отображения g на подпрямоугольниках (ср. рис. 12 и 13). Договорившись раз и навсегда рассматривать отображение g на подпрямоугольниках А и В, мы имеем возможность воспользоваться результатами Смейла для установления существования как бесконечного числа различных периодических траекторий, так и нечетного числа апериодических. В терминологии Рюэля и Такенса апериодически траектории этого типа являются турбулентными, так как их предельные множества не будут ни точной, ни периодической траекторией, ни многообразием. Вернемся к ситуации, изображенной на рис. 10. Используя симметрию преобразования (2.1), отождествим

(см. скан)

Рис. 12.

(см. скан)

Рис. 13.

(см. скан)

Рис. 14. При две траектории, выходящие из точки (0, 0, 0), стремятся асимптотически к (неустойчивой) периодической траектории так, как это изображено на рисуике. Эти периодические траектории притягивают в одном направлении и отталкивают в другом. При меньших значениях траектории закручиваются в критическую точку с.

с D. Тогда взамен рис. 10 получим следующий. Но это есть в точности подкова Смейла, и мы можем воспользоваться его работой для получения требуемого результата. В действительности, однако, поскольку множества А и С, В и D различны, мы имеем «разрывную подкову». В следующем параграфе мы применим изложенные выше соображения непосредственно к разрывной подкове, чтобы получить требуемое асимптотическое поведение траекторий системы (1.1).

§ 3. АНАЛИЗ «РАЗРЫВНОЙ ПОДКОВЫ»

В предыдущем параграфе мы дали геометрическое описание (см. рис. 10) действия отображения в четырех прямоугольных областях А, В, С и D. Мы можем свести полученные там эмпирические результаты в следующую таблицу:

Здесь, к примеру, запись указывает на то, что (см. рис. 9). Теперь мы можем выразить действие отображения на множестве символов с помощью «матрицы переходов»

где

Нетрудно вычислить матрицу переходов для отображения

Здесь для всех что означает существование в точности одного пути длины 2, начинающегося в состоянии i и заканчивающегося в состоянии j. Например, равенство говорит нам о том, что существует ровно один путь, переводящий «в два шага» состояние А в состояние С, именно таким путем является

Заметим, что в силу (3.1) не существует другого пути вида АХС.

Подобным образом

Таким образом, к примеру, из равенства вытекает существование в точности двух путей длины 3, начинающихся в и оканчивающихся в

и

По индукции можно показать, что в общем случае

Процедура, связывающая символическое отображение (3.1) со свойствами динамической системы, вполне аналогична той, которой пользовался Смейл [7], с той лишь разницей, что его подкова кодируется двумя символами вместо четырех.

Прекрасное подробное изложение этого можно найти в книге Нитецки гл. 4 «Подкова Смейла»), Мы опустим доказательство лемм 3.1 и 3.2.

Определение 3.1. Пусть Мы будем называть А, В, С и D символами и скажем, к примеру, что «имеет символ А», если (и аналогично в других случаях). Каждой последовательности точек отвечает последовательность где каждое есть А,

. В последнем случае мы назовем бипоследовательностью. Мы скажем, что последовательность S реализуема, если для любых существуют точки которые отображаются под действием непусто). Мы скажем, что точка q является реализацией последовательности S, если для каждого

Лемма 3.1. Для заданной реализуемой последовательности S множество реализаций непусто и компактно. Для каждой реализуемой бипоследовательности S существует ровно одна реализация q. Бипоследовательность периодична с периодом k (т. е. для всех i) тогда (и только тогда), когда ее реализация — периодическая точка периода

В частности, для значений , немного больших, чем существует бесконечное число периодических траекторий системы (1.1) с различными периодами, так как при этих значениях существует бесконечное число различных реализуемых бипоследовательностей.

Положим определено и лежит в множестве Е для всех . Множество состоит из точек, являющихся реализациями бипоследовательностей.

Лемма 3.2. Пусть для Тогда при тогда и только тогда, когда для каждого точками отвечает один и тот же символ для всех значений i, начиная с некоторого.

Следствие 3.1. Существует несчетное число точек не являющихся периодическими и не стремящихся асимптотически ни к какой периодической траектории.

Доказательство. Очевидно, существует несчетное число различных реализуемых бипоследовательностей для которых последовательность не является периодической, и реализации таких последовательностей не стремятся асимптотически ни к каким периодическим траекториям.

Замечание 3.1. На языке символической динамики наши предыдущие рассуждения устанавливают существование перемешивающего подпотока конечного типа [12].

Замечание 3.2. Число периодических траекторий периода равно

В это число включены по необходимости все периодические траектории, периоды которых делят . Для того чтобы найти число траекторий, имеющих наименьший период, равный , мы должны вычесть число траекторий периода k, для каждого делителя k числа . Например, из равенства след вытекает, что существует 8 траекторий периода 3. Так как единственный делитель числа 3 есть 1, то существует 21 однопериодических траекторий, а именно Таким образом, существует периодических траекторий с наименьшим периодом, равным 3, и эти траектории могут быть легко найдены:

В этой схеме первые три периодические траектории рассматриваются как различные, в то время как на самом деле им соответствует одна и та же траектория системы (1.1). То же самое верно и для последних трех периодических траекторий.

Поэтому, для того чтобы найти число различных периодических траекторий системы (1.1), мы должны разделить найденное выше число периодических траекторий отображения сдвига на величину периода. Так, в нашем случае на самом деле имеется различные периодические траектории. Подобные соображения могут быть использованы для вычисления числа периодических траекторий отображения любого периода .

Следствие 3.2. Множество хаотическое.

Доказательство. Чтобы построить всюду плотную в траекторию, возьмем такую реализуемую бипоследовательность что для каждой конечной реализуемой последовательности символов существует такое целое положительное число , что при всех Пусть точка q будет реализацией S. Для каждой точки и каждого k существует такое что для каждого точкам отвечает один и тот же символ; т. е. обе эти точки лежат в одном и том же множестве, будь это А, В, С или D.

Рис. 15.

Пусть Из леммы 3.2 следует, что при Следовательно, траектория точки q плотна в множестве

Чтобы показать, что множество внутренне неустойчиво, возьмем точку . Положим Пусть равно минимуму из чисел гц для Заметим, что так как образы точек, лежащих в достаточно малой окрестности множеств или , расположены вне множества Пусть — любая точка и — отвечающая ей бипоследовательность. Для рассмотрим реализуемую бипоследовательность для которой при всех Пусть точка

является реализацией последовательности 5. Тогда но так что множество внутренне неустойчиво.

Мы показали, что для значений параметра , следующих непосредственно за значением первого появления гомоклинических траекторий, существует множество траекторий с хаотическим поведением. Для неустойчивые траектории, выходящие из точки (0, 0, 0), переходят с одной стороны на другую (см. рис. 4) и после этого сразу же закручивается в критическую точку (точка с в случае, изображенном на рис. 4).

Нам кажется, что мы достаточно полно рассмотрели структуру поведения траекторий для значений параметра , меняющегося от до следующего критического значения На рис. 15 изображена картина поведения траекторий при значении параметра , равном критическому значению Таким образом, в интервале значений параметра гомоклинические траектории существуют только при

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)

(см. скан)