ПОПЫТКИ УСТАНОВИТЬ СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ УРАВНЕНИЯМИ НАВЬЕ-СТОКСА И ТУРБУЛЕНТНОСТЬЮ

Джерри Марсден

В этой статье, задуманной как обзор, отразились личные пристрастия автора, но я надеюсь, что она тем не менее достаточно представительна. Мне хотелось бы вести изложение на совершенно элементарном уровне, касаясь большого круга проблем и избегая деталей и технических трудностей. В последующих лекциях некоторые из обсуждаемых вопросов будут рассмотрены более глубоко.

Начнем с законов движения вязкой несжимаемой жидкости. Они выражаются уравнениями Навье — Стокса

с граничным условием: скорость v задана (например, равна нулю) на границе Здесь Q — область, занимаемая жидкостью, v — поле скоростей жидкости, — давление и f — внешняя сила; v обозначает кинематическую вязкость или, формально при том же самом виде уравнений, где — число Рейнольдса. Вывод этих уравнений можно найти в любой книге по гидродинамике, например Ландау и Лифшица [18], Фридрихса и фон Мизеса [6], Хьюджеса и Марсдена 14]. Отметим лишь, что вопрос о применимости условия несжимаемости к турбулентным течениям является спорным, однако сейчас принято считать, что эффекты сжимаемости не являются необходимым атрибутом турбулентности, они становятся существенными только при очень больших скоростях жидкости.

Турбулентность — это хаотическое движение жидкости. Цель моей статьи — попытаться связать это общепринятое определение с динамикой уравнений Навье — Стокса. Известны по меньшей мере три попытки объяснить природу

турбулентности; сейчас мы вкратце обсудим предлагавшиеся модели.

а) Картина, предложенная Лере (1934). Поскольку теоремы существования для трехмерных уравнений Навье — Стокса дают только локальные полупотоки (т. е. существование и единственность доказаны только для малых интервалов времени), то предполагается, что турбулентности отвечает разрушение решений этих уравнений по истечении некоторого времени. Другими словами, предполагается, что время существования решения на самом деле конечно. Шаффер [29] исследовал множество тех значений t, при которых решения разрушаются, и нашел, что его хаусдорфова размерность менее 1/2. Однако представить себе реальную физическую ситуацию, в которой решения уравнений Навье — Стокса разрушались бы, довольно трудно.

б) Картина, предложенная Хопфом, Ландау и Лифшицем, подробно обсуждается в книге Ландау и Лифшица [18]. Ее суть заключена в идее, что решения существуют и при больших t, но они являются квазипериодическими. Имеется в виду, что последовательно возбуждается все больше и больше вторичных осцилляций, так что в конце концов решение принимает вид

где частоты связаны иррационально. При больших k таков решение считается достаточно сложным, чтобы описывать хаотическое движение жидкости.

в) Картина, предложенная Рюэлем и Такенсом (1971), предполагает, что динамика внутренне стохастична. С обычной инженерной точки зрения «природа» турбулентности не обсуждается: присущая ей случайность просто постулируется и затем изучается. Если принять точку зрения Рюэля и Такенса, то основной целью будет установление связи инженерных вопросов (статистики, энтропии, корреляционных функций и т. д.) с «изящной» математической моделью турбулентности. Более того, такая модель должна быть выведена из уравнений Навье — Стокса. Что и говорить, сейчас мы очень далеки от поставленной цели.

Эта последняя картина весьма интересна и находит подтверждение в некоторых экспериментах (Голлуб, Суинни, Фенстермахер [7, 8]), которые, видимо, противоречат картине Ландау. Имеются и «изящные» математические модели

с внутренне стохастической динамикой, тесно связанные с уравнениями Навье — Стокса. Таковы уравнения Лоренца, получающиеся в результате редукции уравнений Навье — Стокса для задачи Бенара: их динамика стохастична.

Остальная часть лекции будет посвящена обзору pro и contra описанных представлений. Это будет сделано в виде ряда замечаний.

Замечание 1, Двумерные уравнения Навье — Стокса, а также уравнения Эйлера (которые получаются, если положить в уравнениях Навье — Стокса; это соответствует невязкой жидкости) имеют глобальные по i решения. Следовательно, для двумерной турбулентности картина Лере не проходит (Лере [19], Волибнер [32], Като [16], Юдович [15]).

Для трехмерных уравнений вопрос остается открытым. Нет ни теорем, ни контрпримеров. Есть только весьма неубедительные численные свидетельства того, что

а) для многих турбулентных течений решения уравнений Навье — Стокса не разрушаются,

б) решения уравнений Эйлера со специфическими начальными условиями в (вихрь Тэйлора — Грина)

могут разрушаться через конечное время. Точнее, через 73 разрушается использованный алгоритм. Это может быть вызвано как вычислительными ошибками, так и истинным разрушением решений, причем первое вполне вероятно. Отметим лишь, что для полного анализа необходимо исследование как сходимости алгоритмов, так и их соотношения с точными уравнениями, см. численные исследования Чорина [1], Орзага [25, 26], Херринга, Орзага, Крейчнана и Фокса [9], Чорина с соавторами [2] и приведенные там ссылки.

Замечание 2, Из картины Ландау следует гауссова статистика, что на практике не подтверждается. Модель же со стохастической динамикой дает негауссову статистику (см. Рюэль [28], Голлуб и Суинни [7]).

Замечание 3. Схема Ландау неустойчива по отношению к малым возмущениям уравнений. Схема Рюэля и Такенса является в некотором смысле стабилизацией модели Хопфа — Ландау — Лифшица. Однако, как заметил Арнольд, странные аттракторы могут занимать малое открытое множестве

в пространстве систем, и квазипериодическое движение будет все же наблюдаться с большой вероятностью.

Замечание 4. Для появления стохастической динамики не обязательно нужны сложные уравнения. Уравнения Навье — Стокса сами по себе достаточно сложны, чтобы породить стохастическую динамику и описать таким образом хаотическое течение. Это объясняется тем, что даже простые обыкновенные дифференциальные уравнения обладают стохастичностью (см. ниже), а «любая» теорема о бифуркациях в обыкновенных дифференциальных уравнениях работает и для уравнений Навье — Стокса, см. Марсден и Мак-Кракен [21]. Не входя в подробности доказательства, укажем основную идею: уравнения Навье — Стокса порождают векторное поле на некотором пространстве функций, затем доказывается локальная гладкость нолупотока и проверяются все необходимые для теоремы о бифуркациях условия. Таким путем можно исследовать возникновение из неподвижной точки этого векторного поля двух других неподвижных точек или замкнутой траектории, а также изучать устойчивость этих решений. Подробное обсуждение полученных результатов и точные формулировки теорем (имеется в виду теорема о бифуркациях Хопфа и ее распространение на полупотоки, см. Марсден [22], Марсден и Мак-Кракен [21]) можно найти в приложении к этой статье.

Замечание 5. Как. отмечалось выше, вопрос о существовании решений трехмерных уравнений Навье — Стокса при любом t остается открытым. Для картины Рюэля — Такенса нет необходимости делать предположение об этом: из существования ограниченного в пространстве аттрактора следует глобальное по t существование решений.

Замечание 6. Сложные бифуркации обнаружены в ряде «упрощенных» уравнений в частных производных:

а) Чжоу, Хейл и Мале-Паре [3], исследуя уравнения фон Кармана, применили весьма нетривиальным образом идеи теории катастроф.

б) Холмс [10] свел задачу о бифуркациях флаттера трубы к нормальной форме Такенса.

Замечание 7. Известны по меньшей мере две математические модели со стохастичностью, представляющие физический интерес:

а) уравнения Лоренца

(отметим симметрию Эта система — максимально упрощенное галеркинское приближение уравнений Навье — Стокса для задачи Бенара. Обычно полагают ; — параметр, представляющий число Рэлея. Мы вернемся к этой системе уравнений в замечании 9.

б) Динамо Рикитаке. Эта модель магнитогидродинамического динамо Земли состоит из двух взаимодействующих элементарных динамо — генераторов. При исследовании описывающих эту систему уравнений

также обнаружена стохастичность (см. Кук и Робертс [5]). - в) Модель, описывающая перемешивание соли с пресной водой в присутствии градиента температуры (личное сообщение Хапперта (Н. Huppert) из Кэмбриджа).

Замечание 8. Во многих случаях существование центрального многообразия размерности k оправдывает получение -мерной системы в галеркинском или каком-нибудь другом приближении. Это означает, что вся сложность на самом деле сосредоточена на конечномерном инвариантном многообразии.

Замечание 9. Для полных уравнений Навье — Стокса мы не только не знаем ни одного турбулентного решения, но даже не известно, существует ли такое. Как должен выглядеть стохастический аттрактор у турбулентного течения, тоже неясно. Единственное, что мы знаем (или нам кажется, что мы знаем), это как устроен аттрактор в модели Лоренца. Правда, выводы о турбулентных решениях уравнений Навье — Стокса, полученные при исследовании такой упрощенной модели, могут показаться натянутыми; считают даже, что «обрезание» исходных уравнений выкидывает турбулентность. Однако, как мне кажется, модель Лоренца, хотя она и максимально упрощена, может пролить свет на то, что происходит в более сложной ситуации исходных уравнений Навье — Стокса.

Мне хочется описать здесь вкратце бифуркации в системе Лоренца, происходящие при изменении (числа Рэлея). Представленной ниже картиной мы обязаны Иорке, Гукенхеймеру

и Ланфорду; я в долгу перед ними, а также перед Копеллом (N. Kopell) за разъяснение полученных результатов (см. Каплан и Йорк [17] и статью Гукенхеймера в книге Марсдена и Мак-Кракена [21], а также статью Уильямса в этом сборнике) 2).

Начало координат является глобально притягивающим состоянием равновесия (все собственные числа действительны и отрицательны при т. е. при

Рис. 1.

. Здесь происходит первая бифуркация. Одно действительное собственное значение линеаризованных вблизи нуля уравнений пересекает мнимую ось по действительной оси с ненулевой скоростью: ответвляются два устойчивых состояния равновесия

Рис. 2.

В результате этой стандартной и элементарной бифуркации начало координат теряет устойчивость. С ростом у устойчивых состояний равновесия появляются пара комплексно сопряженных и одно действительное собственное значение. Рисунок теперь выглядит так.

С ростом спирали все больше и больше вспучиваются вверх.

Рис. 3.

. Примерно при этом значении (которое можно найти только численно) спирали так велики, что они попадают на устойчивое многообразие нуля — происходит новая бифуркация. Картина, если смотреть со стороны оси х, такова.

Рис. 4

(Пара устойчивых состояний равновесия не лежит на плоскости )

Две траектории с бесконечными периодами, «начинающиеся» и «заканчивающиеся» в начале координат, «расходятся». Спирали продолжают вспучиваться, при этом из гомоклинической траектории возникают неустойчивые замкнутые траектории. Правая половина фазового портрета изображена на рис. этих значениях неустойчивое многообразие нуля притягивается к противоположному состоянию равновесия (рис. 6).

На этой стадии, которую Йорке назвал «предтурбулентной», состояния равновесия разделены подковой. Имеется

бесконечно много замкнутых траекторий, но в конце концов большинство траекторий притягивается к какому-нибудь из устойчивых состояний равновесия. Это не странный аттрактор, а «метастабильное» инвариантное множество: близкие к нему точки уходят стохастическим путем к одной из притягивающих неподвижных точек.

Рис. 5.

Рис. 6.

Чтобы понять эту ситуацию, рассмотрим плоскость и отображение Пуанкаре, или отображение последования, Проведем на этой плоскости L — линию пересечения с устойчивым многообразием нуля. На рисунке 7 показаны образы четырех областей — А, В, С и D. Сравнивая этот рисунок с подковой Смейла (Смейл [30]), видим, что здесь есть подкова. Если увеличивать, то в конце концов образы прямоугольников перестанут выходить за их границы и родится аттрактор. Это и есть бифуркация, приводящая к аттрактору Лоренца. Рассматривая динамическую систему в целом, мы видим следующее (рис. 8, 9; для ясности нарисована лишь одна половина).

Теперь между двумя периодическими траекториями появился странный аттрактор, называемый аттрактором

(см. скан)

Рис. 7.

(см. скан)

Рис. 8.

(см. скан)

Рис. 9.

Лоренца. К этому аттрактору притягиваются все траектории, проходящие вблизи устойчивого многообразия нуля; они уходят от нуля вместе с неустойчивыми многообразиями. Предположим, что недалеко от начала координат помещена плоскость, перпендикулярная его устойчивому многообразию, и мы интересуемся точками, через которые проходит какая-нибудь конкретная траектория. Блуждая от одного цикла к другому, все время отталкиваемая ими, эта траектория дает в результате случайное распределение точек на выбранном «поперечном срезе» аттрактора Лоренца. Структура этого аттрактора описана в работе Уильямса в этом сборнике и в статье Гукенхеймера, образующей гл. 12 книги Марсдена и Мак-Кракена [21]. Отметим, что этот аттрактор — нестандартный, поскольку два состояния равновесия «стандартного» аттрактора Лоренца заменены здесь замкнутыми траекториями. С ростом этот нестандартный аттрактор Лоренца растет, а неустойчивые замкнутые траектории схлопываются.

. Доказано (Марс-ден и Мак-Кракен [21]), что при этом значении происходит обратная бифуркация Хопфа. Две «призрачные» замкнутые траектории схлопываются в состояния равновесия, которые таким образом становятся неустойчивыми.

Теперь мы имеем «стандартный» аттрактор Лоренца, который выглядит так.

Рис. 10.

. При больших ситуация усложняется и полной ясности еще не достигнуто. По некоторым вычислениям

Ланфорда происходит, видимо, следующее. Если обратиться снова к отображению последования плоскости то мы увидим, как неустойчивые многообразия двух симметричных состояний равновесия образуют складку (см. рис. 11). При этом, по-видимому, рождаются устойчивые предельные циклы большой амплитуды. Появление складки связано, вероятно, с тем, что отталкивание состояний равновесия усиливается и они стремятся отбросить от себя неустойчивые многообразия.

Рис. 11.

Ситуация здесь аналогична бифуркациям отображения описывающего динамику популяций.

Можно менять и другой параметр в системе Лоренца или менять сразу несколько параметров. Например, сам Лоренц в недавних численных исследованиях рассматривал бифуркации при малых b (что, как предполагается, соответствует большим ),

Направления исследований

1) Определить качественную структуру и бифуркации в модели двухдискового динамо Рикитаке.

2) Необходимы реальные чисто гидродинамические модели; можно попытаться построить модели для

а) течения Куэтта — см. Коулс [4], где приведено много интересных сведений об этом течении, и Стюарт [31];

б) течения за цилиндром.

Рис. 12.

Здесь центральную роль будет играть симметрия. Заметим, что на третьем рисунке представлено периодическое решение в пространстве векторных полей с нулевой дивергенцией. Мне кажется, что вторичная бифуркация Хопфа иллюзорна — просто периодическая траектория, появившаяся в результате первоначальной бифуркации, как-то изгибается в подходящем пространстве функций.

Как заметил Корин, модель Лоренца в некотором смысле крупномасштабна: стохастичность в ней связана с движениями больших вихрей. Хотелось бы иметь модель со стохастической динамикой, включающую несколько взаимодействующих вихрей и механизм их образования. По-видимому, это больше бы соответствовало «настоящей турбулентности»,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Chorin A. J. Lectures on Turbulence Theory, n. 5, Publish or Perish, 1976.

[2] Chorin A. J., Hughes T. R. J., McCracken M. J., Marsden J. E. Product Formulas and Numerical Algorithms, Advances in Math (to appear).

[31 Chow W, Hale J., Mallet-Paret J. Applications of Generic Bifurcations, Arch. Rat. Mech. Anal. I, 59 (1975), 159—188; II; 62 (1976), 909—236.

[4] Coles D. Transition in circular Couette flow, J. Fluid Mech. 21 (1965), 385—425.

[5] Cook R., Roberts J. The Rikitake two-disk dynamo system, Proc. Camb. Phil. Soc. 68 (1970), 547—569. (Русский перевод в настоящем сборнике.)

[6] Friederichs К. О., Von Mises R. Fluid Dynamics, Appl. Math. Sci., n. 5, Springer-Verlag, 1971.

[7] Gollub J. P., Swinney H. L. Onset of Turbulence in a Rotating Fluid, Phys. Rev. Lett., 35, n. 14 (1975).

[8] Gollub J. P., Fenstermacher R. R., Swinney H. L. Transition to Turbulence in a Rotating fluid, in: «Sinergetics: a workshop», ed. H. Ha-ken, Springer-Verlag. 1977.

[9] Herring J. R., Orszag S. A., Kraichnan R. H., Fox D. G. J. Fluid Mech. 66 (1974), 417.

['10] Holmes P. Bifurcation to divergence and flutter in flow induced oscillations: a finite dimentional analysis, J. of Sound and Vibr. 53 (1977), 417—503.

[11] Hopf E. A mathematical example displaying the features of turbulence. Comm. Pure Appl. Math. 1 (1948), 303—322.

[12] Hopf E. Repeated branching through loss of stability, an example, Proc. Conf. on Diff. Eq ns, Maryland (1955).

[13] Hopf E. Remarks on the functional-analytic approach to turbulence, Proc. Symp. Appl. Math. 13 (1962), 157—163.

[14] Hughes Т., Marsden J. A Short Course in Fluid Mechanics, n. 6, Publish or Perisch, 1976.

[15] Юдович В. И. Двумерная нестационарная задача о протекании идеальной несжимаемой жидкости сквозь заданную область. — Матем. сборник, 1964, 64, № 4, 562—588.

[161 Kato Т. Arch. Rat. Mech. Anal. 25 (1967), 188—200.

[17] Kaplan J. L., Yorke J. A Preturbulent Behaviour in the Lorenz equations, preprint. (Русский перевод в настоящем сборнике.)

[18] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред.— М.: Гос-техиздат, 1953.

[19] Leray J. Sur le mouvement d’un liquide visque ux emplissant l’espace, Acta Math. 63 (1939), 193—248.

[20] Lorenz E. N. Deterministic Nonperiodic Flow, J. Atmos. Sci. 20 (1963), 130—141. (Русский перевод в настоящем сборнике.)

[21] Marsden J., McCracken J. The Hopf Bifurcation, Appl. Math. Sci., n. 19, Springer-Verlag, 1976. (Русский перевод Марсден Дж. МакКракен Дж. Бифуркация рождения периодического движеиня и их применения. — М.: Мир, 1980).

[22] Marsden J. The Hopf bifurcation for nonlinear semigroups, Bull. Amer. Math. Soc., 79 (1973), 537—541.

[23] Marsden J. Application of Global Analysis to Mathematical Physics, Publish or Perish, 1974.

[24] Mandelbrot B. Geometrie fractale de la turbulence. Dimension de Hausdorff, dispersion et nature des singularites du mouvement des fluides, Compt. Ran. Acad. Sci. Paris, 282 (1976), 119—120.

[25] Orszag S. A. Numerical simulation of the Taylor—Green vortex, in «Computing Methods in Applied Sciences and Engineering», ed. R. Glo-winski and J. L. Lions, Springer, 1974.

[26] Orszag S. A. Analytical theories of turbulence, J. Fluid Mech. 41 (1970), 363—386.

[27] Ruelle D., Takens F. On the Nature of Turbulence, Comm. Math. Phys. 20 (1971), 167—192; 23 (1971), 343—344. (Русский перевод в настоящем сборнике.)

[28] Ruelle D. The Lorenz attractor and the problem of turbulence, in «Turbulence and Navier — Stokes equations», Lect. notes in math. 565, Springer-Verlag, 1976.

[29] Scheffer V., Geomfctrie fractale de la turbulence. Equations de Navier — Stokes et dimension de Hausdorff, Compt. Rand. Acad. Sci. Paris, (1976), 121—122.

[30] Smale S. Differentiable dynamical systems, Bull. Amer. Math. Soc. 73 (1967) 747—817. Русский перевод: УМН, 25, № 1, 1970, 113—185.

[31] Stuart J. T. Nonlinear Stability Theory. Ann. Rev. Fluid Mech. 3 (1971), 347—370.

[32] Wolibner W. Un theoreme sur l’existense du mouvement plan d’un fluide parfait homogene, incompressible, pendant un temps infiniment longue, Math. Zeit., 37 (1933), 698—726.

[33] Афраймович В. Ц., Быков В. В., Шильников JI. П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца, Докл. АН СССР, 234, № 2 (1977), 336—339.

[34] Шильииков Л. П. Теория бифуркаций и модель Лоренца. Дополнение II к переводу книги [21].

[35] Рощин Н. В. Опасные границы устойчивости в модели Лоренца. Прикл. матем. и мех., 42, № 5 (1978), 950—952,

[36] Монин А. С. О природе турбулентности, УФН, 125, № 1, (1978), 97—122.

[37] Рабинович М. И. Стохастические автоколебания и турбулентность, УФН, 125, № 1 (1978), 123—168