Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНЫХ СДВИГОВЫХ ТЕЧЕНИЙП. Г. Сафмен Предметом изучения в теории турбулентности можно считать исследование стохастических решений уравнений Навье — Стокса при определенных начальных и граничных условиях. Точное значение слова «стохастические» зависит от точки зрения произносящего это слово. Для математика «сто-хастичность» означает существование ансамбля возможных реализаций поля течения, для которого определено понятие среднего. Для инженера каждое турбулентное течение, с которым он сталкивается на практике, представляет собой единичную непрерывную реализацию поля течения, и «стохастический» на самом деле означает «непредсказуемый». Инженер надеется обнаружить предсказуемые свойства поля течения при помощи подходящего осреднения его по времени и/или по пространству. Исторически сложилось так, что на самом деле исследовались два типа турбулентности: воображаемая турбулентность и реальная турбулентность. Воображаемая турбулентность представляет собой идеализированное турбулентное движение, однородное и изотропное, которое не встречается в природе. «Однородность» означает, что средние свойства течения одинаковы во всех точках пространства, а условие изотропии означает, что не существует преимущественной ориентации для осредненных характеристик турбулентных флюктуаций. Встречающиеся в природе турбулентные течения, которые могут быть названы «реальными», всегда неоднородны. Турбулентность, которая приближенно является однородной и изотропной, существует реально. Она может быть создана в лабораторной аэродинамической трубе за мелкой решеткой при прохождении через нее струи жидкости с достаточно большой скоростью. Экспериментально было обнаружено, что турбулентное движение жидкости достаточно далеко вниз по течению от решетки почти изотропно и в. системе координат, движущейся со средней скоростью течёния, почти однородно. Усредненные характеристики однородной и изотропной турбулентности могут со временем меняться, и поэтому скорость диссипации турбулентной кинетической энергии таких течений была объектом интенсивного исследования. Теоретическое изучение однородной и изотропной турбулентности было начато Тейлором. Вначале считалось, что этот тип турбулентного движения более доступен математическому анализу, чем реальная турбулентность. К сожалению, математические трудности, возникающие при изучении воображаемой турбулентности оказались все же слишком велики, и понимание механизма такого движения остается весьма ограниченным. Кроме того, до сих пор неясно, может ли быть извлечена какая-либо польза из изучения этого вида турбулентности, так как для всех реальных турбулентных течений наличие сдвига оказывает нетривиальное воздействие на динамику турбулентного движения во всех масштабах. Реальные турбулентные течения грубо могут быть разделены на два типа: «простые» и «сложные». Простыми турбулентными течениями являются такие, которые не испытывают влияния внешних, геометрических или феноменологических факторов. Турбулентное течение называется сложным, если оно не является простым. Например, сравним турбулентные течения в трубе:
Рис. 1. в струе:
Рис. 2. и в слое смешения:
Рис. 3. Все эти течения являются простыми. А турбулентные течения за цилиндром
Рис. 4. и в турбулентном слое смешения около угла
Рис. 5. являются примерами сложных турбулентных течений. Для всех этих примеров, как простых, так и сложных, отсутствует удовлетворительное теоретическое объяснение. Рассмотрим турбулентное течение в трубе, изображенное на рис. 1. Было обнаружено, что для области
в любой трубе при достаточно больших числах Рейнольдса. Постоянная Кармана Для турбулентного течения струи жидкости, вытекающей из отверстия, изображенного на рис. 2, хорошо было бы уметь предсказывать a priori величину угла расхождения струи а. Экспериментально для многих различных течений было обнаружено, что этот угол Аналогично для слоя смешения, изображенного на рис. 3, хотелось бы уметь предсказывать величину угла расхождения и скорости проникновения Для турбулентного следа за цилиндром, изображенного на рис. 4, нужно уметь предсказывать характеристики примыкающего к цилиндру турбулентного пограничного слоя и находящейся непосредственно позади цилиндра области отрыва. Хотелось бы надеяться также, что теория турбулентности сможет предсказывать появления ряда больших вихрей, которые возникают вследствие течения попеременно выше и ниже цилиндра. Ситуация, изображенная в примере сложного турбулентного потока на рис. 5, часто встречается на практике. В этом случае хотелось бы уметь предсказывать влияние присутствующего здесь угла на слой смешения, т. е. характер изгибания этого слоя и скорость проникновения в него жидкости из внешнего потока. Мы должны признать, что простота течений, изображенных на первых трех рисунках, лишь видимая, а не подлинная. Например, мгновенные фотографии течения в струе, сделанные Рошко, позволяют увидеть довольно сложную регулярную структуру, изображенную на рис. 6. Представленные здесь вихри непрерывно взаимодействуют и искривляются исключительно сложным образом.
Рис. 6. Теперь читателю должно быть уже предельно ясно, что в области турбулентности нет недостатка проблем, ожидающих решения. Попробуем выяснить, какой стратегии мы должны придерживаться, чтобы найти средства для решения хотя бы некоторых из них. Первый подход (и, возможно, наиболее разумный) состоит в отказе от каких бы то ни было попыток понять природу турбулентности. Много несостоявшихся научных карьер было посвящено безуспешным попыткам разгадать тайны турбулентности. Те горячие головы, которым нипочем эти предупреждения об опасности, могут пойти несколькими различными путями. Первый из них — попытаться численно смоделировать турбулентные течения. Для этого уравнения Навье — Стокса точно решаются на машине для конечного числа начальных условий, а затем полученные результаты усредняются с тем, чтобы получить различные интересующие нас средние характеристики. Этот подход существенно ограничен числом узлов сетки, которое нужно использовать, чтобы решить конечноразностные аппроксимации уравнений Навье — Стокса при больших числах Рейнольдса. Число ячеек машины, которое для этого требуется, согласно оценкам, Существует модификация этого подхода, называемая подсеточным моделированием. При этом вычисляют характеристики только крупномасштабного движения, используя сетку с большим шагом, и затем с помощью подходящих аппроксимаций пытаются оценить влияние мелкомасштабного (подсе-точного) движения на движения больших масштабов. К сожалению, математические трудности, возникающие при оценке влияния движения малых масштабов на крупномасштабное движение, почти идентичны трудностям, возникающим при аппроксимации напряжений Рейнольдса при попытке непосредственно решить уравнения для среднего поля скорости. Другой подход к решению проблем, возникающих при исследовании турбулентных течений, — это метод моделирования напряжений Рейнольдса, активно разрабатываемый многими исследователями, наиболее видными из которых являются Лаундер из Великобритании и Ламли из Соединенных Штатов. Этот подход состоит в использовании замкнутой системы уравнений, задающих эволюцию рейнольдсовых напряжений, вместо того чтобы аппроксимировать их с помощью какой-либо модели диффузии вихрей, как это делали Буссинеск, Тейлор, Прандтль и фон Карман. Путем преобразования уравнений Навье — Стокса можно вывести следующие уравнения для эволюции напряжений
где
— член, описывающий генерацию
— член, описывающий перераспределение между различными компонентами напряжения Рейнольдса;
— член, отвечающий за его диссипацию вследствие вязкости, и
описывает его диффузию под действием различных факторов. Вычисление левой части уравнения (1) достаточно просто, но правая часть содержит члены, вычислить которые очень сложно. Данный метод моделирования уравнения для напряжений Рейнольдса состоит в отыскании такого представления величин какой подход к построению таких аппроксимаций наиболее предпочтителен, и каждая группа исследователей придерживается в этом вопросе собственных вкусов. Пока еще рано делать выводы о том, насколько плодотворным окажется это направление. На практике уравнения (1) дополняются еще одним эвристически выведенным уравнением для величины диссипативного члена Аппроксимация рейнольдсовых напряжений При расчете турбулентных течений общего вида нужно быть готовым к использованию феноменологического моделирования значительно менее обоснованного типа, т. е. постулировать существование уравнений для эволюции характерного масштаба длины и/или времени и/или масштаба скорости турбулентного движения. Каждое из этих уравнений включает в себя известные особенности динамики поведения определенного масштаба. Для того чтобы связать эти уравнения с осредненными уравнениями Навье-Стокса, обычно постулируется существование связующих соотношений общего вида:
где В 1942 году А. Н. Колмогоров в работе, лишь недавно «открытой» на Западе, предложил полную феноменологическую модель, в которой в соотношении (2) величина
Сафмен в 1970 г., не зная о работе Колмогорова, предложил удивительно похожий феноменологический подход. Этот подход также основан на соотношении (2). В его теории
Здесь Другая интересная особенность уравнений (3) состоит в том, что они учитывают наличие поверхностей раздела между турбулентными и ламинарными областями, которые существуют во многих турбулентных течениях, например в струе. В турбулентной области то возможно, что резкая граница, разделяющая ламинарный и турбулентный режимы течения, может быть ими описана. При применении системы (3) к расчету ряда различных турбулентных течений был достигнут определенный успех. Для простых автомодельных турбулентных течений, таких, как струя, слой смешения и след, для которых управляющие их динамикой уравнения в частных производных могут быть сведены к обыкновенным, эта феноменологическая теория точно воспроизвела известные об этих течениях эмпирические факты. При применении к турбулентному слою смешения жидкостей разной плотности и с разными числами Маха было полечено хорошее соответствие между этой теорией и экспериментом. Кроме того, удалось предсказать некоторый феномен для системы, до сих пор не исследовавшейся экспериментально. Было бы очень важно выяснить, является ли это предсказание правильным, так как по-настоящему хорошая теория турбулентности обязана давать правильные предсказания, а не только воспроизводить результаты, которые уже были получены экспериментально (т. е. не «постдикция», а предикция). В заключение отметим, что феноменологический подход к расчету турбулентных течений привел к некоторым первоначальным достижениям, но должен быть в дальнейшем подвергнут значительно более серьезной проверке, т. е. применен к реальным сложным течениям. Только после этого можно сделать вывод: является ли он действительно хорошим или нет. Если эта модель будет продолжать работать и в дальнейшем, то нужно попытаться найти ее обоснование на основе уравнений Навье — Стокса.
|
1 |
Оглавление
|