Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ПРИЛОЖЕНИЕ К СТАТЬЕ МАРСДЕНА БИФУРКАЦИИ, ПОЛУПОТОКИ И УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ—СТОКСАТюдор Рэтью Как уже отмечалось в статье Дж. Марсдена, согласно предложенной Рюэлем и Такенсом картине турбулентности, движение жидкости само по себе стохастично-. Считается, что наблюдаемое при Ведущая идея — это построение подходящей модели, следующей из уравнений Навье — Стокса для однородной несжимаемой вязкой жидкости:
с граничным условием: v задано на границе граничные условия на Теперь попытаемся записать наши уравнения Эйлера и Навье — Стокса в виде системы эволюционных уравнений
с начальным условием Обозначим Здесь Теорема разложения Ходжа. Пусть М — компактное риманово многообразие с границей и
где
Обозначим
(плюс начальные условия). Предположение, что
Чтобы иметь возможность записать подобным образом уравнения Навье—Стокса, изменим пространство функций на
Следующая теорема доказана в гл. 9 книги Марсдена и Теорема. Уравнения Навье — Стокса в пространстве размерности 2 или 3 определяют гладкий локальный полипоток на a)
c) d) для всех фиксированных Этот результат, восходящий к работе Ладыженской [5], позволяет работать не с уравнениями Навье — Стокса в их классическом виде, а с порождаемыми ими эволюционными уравнениями на Следуя представлениям о стохастической динамике, мы можем предположить, что турбулентность появляется в результате некоторой последовательности бифуркаций решений уравнений Навье — Стокса. Поэтому первый вопрос — насколько классическая теория бифуркаций применима к полупотокам. Работы Марсдена показывают, что почти все применимо, если только наложить на полупотоки условия, обычно выполненные для векторных полей. Эти результаты будут описаны ниже. Далее мы будем работать с системой эволюционных уравнений общего вида
Предположения о спектре. Пусть I) 0 — неподвижная точка II) при III) при IV) V) при Мы не будем объяснять здесь детали проверки этого последнего предположения, укажем только, что необходимо определить, имеет ли некая функция отклонения, получаемая из отображения Пуанкаре, строго отрицательную третью производную. Иногда мы будем пользоваться этими же предположениями, но III) заменим на III): III) при Теорема о рождении периодического движения. Если выполняются сделанные выше предположения I) — V), то существует фиксированная окрестность V нуля в Е и Теорема о рождении неподвижных точек.Если выполняются те же условия, но с III) вместо III), то получится тот же результат, только вместо одного семейства замкнутых траекторий будет существовать два семейства устойчивых состояний равновесия. Мы не будем вникать в доказательство этих теорем, приведем только два лежащих в его основе факта. Первый — это теорема о центральном многообразии, второй — это теорема Чернова — Марсдена о сведении гладких полупотоков к потокам на конечномерных многообразиях. Если применить эти два результата, то всю задачу можно свести к теореме о рождении цикла в двумерном пространстве, которая относительно проста и восходит к работам Пуанкаре. Вот эти формулировки: Теорема о центральном многообразии для полупотоков.Пусть Z — банахово пространство с Чтобы применить эту теорему к Хорошо известен вариант этой теоремы для Теорема (Чернов — Марсден).Пусть Необходимо сделать несколько замечаний. Теорема о центральном многообразии является ключевым моментом в доказательстве теоремы о бифуркациях; но кроме этого она может оправдать некоторые конечно-модовые аппроксимации уравнений Навье — Стокса (см. замечание 8 в статье Марсдена). Отметим также, что в гл. 4а книги Марсдена и МакКракена [7] описывается алгоритм, позволяющий проверять устойчивость родившихся состояний равновесия и замкнутых траекторий (см. также замечание 4 статьи Марсдена.) Следствием доказательства теоремы о бифуркациях является сведение рассматриваемой задачи к двумерному случаю. Получается, что вся сложность сосредоточена на плоскости, даже если мы начинаем с эволюционного уравнения в бесконечномерном пространстве функций. Эта ситуация характерна при работе с полупотоками: пытаясь доказать теорему о бифуркации, мы сводим все к конечномерному случаю, и это дает нам сразу два результата: саму теорему и сведение! Двигаясь по этому пути, мы приходим к следующей бифуркации — рождению инвариантного тора. Здесь идея доказательства та же, что и была ранее, нужно только заменить ссылку на теорему о бифуркации в Так в общих чертах решается задача о первых двух бифуркациях. Что будет дальше? Единственная плодотворная идея связана с отображением Пуанкаре и с тем фактом, что нечто инвариантное в отображении дает инвариантное многообразие в полупотоке размерности на единицу больше с сохранением свойства притяжения или отталкивания: неподвижная точка, притягивающая или отталкивающая, дает замкнутую траекторию, притягивающую или отталкивающую, цикл дает инвариантный тор и так далее. Хочется отметить, что изложенные здесь геометрические методы, конечно, не единственные, с помощью которых можно попытаться решить проблему о бифуркациях решений уравнений Навье — Стокса. Прекрасным примером является книга Сэттинджера [9], в которой в 4—7 главах делается примерно то же самое, но используя методы задачи на собственные значения, энергетический метод и степень Лере — Шаудера. Я предпочитаю изложенный выше подход, поскольку он, как мне кажется, более отвечает геометрической интуиции. В заключение сделаем следующее существенное замечание. Хотя кажется, что в задаче о первой бифуркации можно успешно продвинуться, если применить изложенные методы, возникающие сложности могут быть очень большими. Это связано с тем, что мы должны начинать с чего-либо известного, а именно с частного стационарного решения, рассматривая его как неподвижную точку полупотока, и проверить для него условия теоремы о бифуркациях.
Рис. 1 Но во многих случаях нам известно даже стационарное решение! Именно в этом трудность предложенной в статье Марсдена задачи об обтекании цилиндра: точного решения СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ[1] Adams R. Sobolev Spaces, Academic Press, 1975, in series of Pure and Applied Mathematics, v. 65. [2] Chernoff P., Marsden J. Properties of Infinite Dimensional Hamiltonian Systems, Lect. Notes in Math. 92, Springer-Verlag, 1974, [31 Ebin D., Marsden J. Groups of Diffeomorphisms and the Motion of Incompressible Fluid, Ann. of Math. 92, n. 1, 1970, 102—163. (Русский перевод: сб. Математика, 17, № 5—6, 1973.) [4] Hughes Т., Marsden J. A Short Course in Fluid Mechanics, Publish or Perish, 1976. [5] Ладыженская О. А. Математическая теория вязкой несжимаемой жидкости. — М.: Наука, 1970. [6] Marsden J., The Hopf Bifurcation for Nonlinear Semigroups, Bull, Amer. Math. Soc. 76, n. 3, 1973, 537—541. [7] Marsden J., McCracken М., The Hopf Bifurcation, Appl. Math. Sci. 19, Springer-Verlag, 1976. (Русский перевод: Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркации рождения периодического движения и их применения.— Пер. с англ. М.: Мир, 1980.) [8] Моггеу С. В. Multiple Integrals in the Calculus of Variations, Springer, 1966. [9] Sattinger J. Topics in Stability and Bifurcation Theory, Lect. Notes in Math., 309, Springer-Verlag, 1973. [10] Ruelle D., Takens F. On the Nature of Turbulence, Comm. Math. Phys, 20, 1971, 167—192. (Русский перевод в настоящем сборнике.)
|
1 |
Оглавление
|