§ 2.2. Арифметические действия с переменными, имеющими предел
Пусть
и
обозначают переменные,
пробегающие соответственно последовательности
и
. По определению сумма
, разность
, произведение
и частное
суть переменные, пробегающие
соответственно последовательности
,
,
,
. В случае частного предполагается, что
для всех
.
Если
для
, то в этом случае
пишут
вместо
.
Справедливы
следующие утверждения:
, (1)
,
(2)
, если
. (3)
Эти утверждения
надо понимать в том смысле, что если существуют конечные пределы
и
, то существуют
также и пределы их суммы, разности, произведения и частного (с указанной
оговоркой) и выполняются равенства (1) – (3).
Д о к а з а т е
л ь с т в о. Пусть
и
. Зададим
и подберем
так, чтобы
.
Тогда
,
и мы доказали (1).
Чтобы доказать
(2), заметим, что
(4)
Так как
имеет предел, то (по теореме
2 предыдущего параграфа) существует положительное число
такое, что
,
(5)
.
(6)
Подберем число
так, чтобы
. (7)
Тогда из (4) – (7) следует, что
.
Этим доказано равенство (2).
Пусть теперь к условию, что
и
, добавится условие,
что
.
Тогда
. (8)
Теперь уже
удобно использовать теорему 3 предыдущего параграфа, в силу которой
(9)
для достаточно большого
. Зададим
и подберем
и
такие, чтобы
,
(10)
.
(11)
Тогда, положив
, будем в силу (8)
– (11) иметь
,
что доказывает равенство (3).
Заметим, что
пределы переменных, стоящие в левых частях равенств (1) – (3), могут
существовать без того, чтобы существовали отдельно пределы
и
. Например, если
,
, то
и
не имеют пределов,
в то время как
,
.
Теоремы о
пределах суммы, разности, произведения и частного во многих случаях дают
возможность узнать, имеет ли переменная предел и чему он равен, если она есть
результат конечного числа арифметических действий над несколькими другими
переменными, существование и величина пределов которых известны.
Однако часто
встречаются случаи, выходящие за границы применимости доказанных теорем, и
здесь остается большое поле для инициативы математика.
П р и м е р 1.
Пусть
.
Доказать, что
.
Имеем
.
Так как
при
, то, применяя
формулы (1), (2), получаем
.
В дальнейшем под символом
будем понимать
. Таким образом,
.