§ 5. Обсуждение постановок краевых задач для линейных систем первого порядка

Рассмотрим краевую задачу

здесь у, f, b, d — векторы размерностей соответственно , а - матрицы размерностей . Всюду в дальнейшем предполагается, что ранг матрицы В равен , а ранг матрицы D равен .

Прежде чем отыскивать практически пригодные методы решения задачи (1), обсудим вопрос о чувствительности решений краевых задач к разного рода возмущениям. В качестве модели возьмем краевую задачу

(2)

Рассмотрим случай, когда все собственные значения матрицы А различны; в общем случае ход рассуждений изменяется несущественно. Пусть — собственные значения матрицы А, упорядоченные в порядке возрастания соответствующие собственные векторы, причем Общее решение системы запишется в виде

Собственные значения разделим на три группы, присваивая собственным значениям каждой группы соответствующий верхний индекс. Собственные значения , для которых величина очень большая, обозначаем как если , и как , если . Остальные собственные значения, т.е. те, для которых величина не очень велика, обозначаем как . Соответственно снабдим верхними индексами собственные векторы суммирование по индексам j, соответствующим этим группам, будем обозначать . Пусть - число собственных значений в соответствующих группах. Форма записи решения (3) ставит в неодинаковое положение концы отрезка интегрирования: все функции в точке имеют порядок 1, в то время как в точке одни из них очень большие, другие очень малые.

Удобнее другая форма записи общего решения:

Выпишем систему уравнений , из которой следует определить постоянные , соответствующие отыскиваемому решению:

Систему уравнений (4) можно записать в форме

здесь

матрица G имеет клеточный вид:

в котором клетки записываются следующим образом:

Предположим, что и представим решение системы (4) в виде . Согласно известным формулам элементы обратной матрицы имеют вид

где - миноры матрицы G. При сформулированных ранее предположениях величины ничтожно малы, поэтому ничтожно малы элементы матриц и определитель

близок к определителю

Рассмотрим отдельно случаи:

а) определитель не мал;

б) определитель мал, в частности равен нулю.

Поскольку среди элементов матрицы нет больших, то, вследствие формулы (5), в случае а) элементы матрицы обычно не очень большие.

Предположим, что правые части граничных условий b и d содержат некоторые погрешности . Пусть , тогда погрешность вектора с равна . Если элементы матрицы не очень велики, то влияние погрешности на коэффициенты будет не очень большим. Решение задачи является линейной комбинацией с коэффициентами слагаемых

Поэтому погрешность приближенного решения, являющаяся следствием погрешностей , также будет приемлемой.

Заметим, что наши высказывания носят довольно неопределенный характер: «малый», «очень малый», «небольшой», «очень большой»; при анализе конкретной задачи исследователь должен сам решать, насколько приемлем для него тот или иной порядок рассматриваемых величин. В частности, если решается система «большого» порядка, то при «умеренных» значениях коэффициентов системы и «не очень малом» определителе До возможно, что миноры, состоящие из сумм произведений большого числа элементов, окажутся «недопустимо большими».

Если определитель До очень мал или равен нулю, то, вследствие равенства

среди элементов матрицы встретятся большие. Тогда малые возмущения правых частей граничных условий могут приводить к большим возмущениям коэффициентов , а следовательно, и решения задачи.

Зная элементы матрицы и собственные значения матрицы А, из полученных выше соотношений можно получить довольно точную информацию о возмущении решения дифференциальной задачи. Однако получение этой информации само по себе требует большого объема вычислений; перенос этих построений на случай переменной матрицы потребует еще большего объема вычислений. Попытаемся поэтому получить критерии устойчивости решения к возмущениям и качественного характера, требующие меньшей информации о задаче, хотя, может быть, и несколько менее надежные. Таким критерием могут служить соотношения между числами и . Среди элементов первых строк матрицы ненулевые элементы могут находиться в первых столбцах, соответствующих матрицам . Если , то и тогда все миноры порядка , лежащие в первых строках, обращаются в нуль. Раскрывая определитель по первым строкам, получаем . Точно так же, если , то все миноры порядка , лежащие в последних строках, обращаются в нуль, поэтому . Если , то определитель окажется линейной комбинацией произведений элементов матриц В и D и координат собственных векторов , причем коэффициентами при этих произведениях будут произведения чисел , не очень больших и не очень маленьких по модулю. Можно принять гипотезу, что этот определитель оказывается малым числом довольно редко. Тогда решение задачи (2) будет мало чувствительно к возмущениям и правых частей граничных условий.

Мы можем сформулировать полученные выводы в качестве следующего предложения. Если или , то решение дифференциальной задачи сильно чувствительно к возмущениям правых частей граничных условий: если , как правило, решение задачи (2) будет мало чувствительно к изменениям правых частей граничных условий.

Первую часть этого утверждения можно переформулировать еще в такой форме: для малой задачи к возмущениям граничных условий необходимо, чтобы число независимых частных решений растущих на [0, X] с ростом , не превосходило числа граничных условий на правом конце, а число частных решений , сильно убывающих на [0, X] с ростом , не превосходило числа граничных условий на левом конце.

Эта формулировка при определенных уточнениях может быть перенесена и на случай задачи (1) с переменной матрицей . Строгая переформулировка этого утверждения будет довольно громоздкой; однако если элементы матрицы относительно плавно меняются на , то при первоначальном исследовании устойчивости задачи к возмущениям граничных условий зачастую можно ограничиться подсчетом числа собственных значений матрицы с большим положительным и большим отрицательным значениями величины .

Краевую задачу называют хорошо обусловленной (хорошо поставленной) если малые возмущения коэффициентов и правых частей уравнения и граничных условий приводят к столь же малым по порядку изменениям решения задачи. Более аккуратное определение хорошей обусловленности можно дать следующим образом. Наряду с краевой задачей (1) рассмотрим краевые задачи

с не очень большой мерой возмущения

Если для всех решений таких краевых задач выполняются неравенства

с не очень большим значением постоянной М, то исходную задачу называют хорошо обусловленной, в противном случае задачу называют плохо обусловленной. Минимальное значение , при котором неравенство (6) выполняется при всех фиксировано), иногда называют мерой обусловленности данной задачи (относительно возмущений с нормой, не большей ). Обусловленность задачи характеризует устойчивость решения к возмущениям исходных данных, например к неточности задания коэффициентов уравнения. Поскольку погрешности от округления при вычислениях эквивалентны возмущениям коэффициентов исходного уравнения, то мера обусловленности характеризует и устойчивость численного решения к возможным округлениям при численном решении. Если известна ориентировочная оценка возмущения коэффициентов задачи и погрешность порядка допустима, то имеет смысл непосредственное численное решение задачи.

Рассмотрим в качестве примера задачу Коши для системы при на отрезке [0, 30]. Собственные значения матрицы

равны . Величина очень малая, а - очень большая, . Поэтому малые возмущения граничного условия должны приводить к очень большим изменениям решения. В данном случае проводившиеся нами в этом параграфе построения не имеют особого смысла, поскольку и без них ясно, что, вследствие сильного роста решений исходного линейного уравнения, погрешность решения растет очень быстро.

Пусть для той же системы рассматривается задача с краевыми условиями собственные векторы, соответствующие собственным значениям , равны соответственно .

Вообще говоря, следует ожидать, что задача будет устойчива к возмущениям . Решение отыскивается в виде

Уравнения (4) имеют вид

Отсюда

где

близко к . Если коэффициенты небольшие, а не мало, то коэффициенты мало изменяются при малых изменениях . Если , то система (7) имеет ненулевое решение при В этом случае говорят, что «задача лежит на спектре», т. е. имеется в виду, что однородная задача имеет ненулевое решение и бессмысленно говорить об устойчивости решения к возмущениям граничных условий. При задача плохо обусловлена, поскольку .

Задача 1. Доказать, что решение хорошо обусловленной краевой задачи единственно.