§ 14. Правило Рунге практической оценки погрешности

Мы получили, что главный член погрешности формулы трапеций с постоянным шагом интегрирования равен

В случае формул более высокого порядка точности можно получить представление главного члена погрешности квадратуры через производные высших порядков. Непосредственное использование этих выражений для оценки величины главного члена погрешности иногда неудобно, поскольку требует выполнения операции дифференцирования. В других задачах выражение главного члена погрешности может оказаться настолько сложным, что его вычисление требует дополнительного численного интегрирования. Поэтому в вычислительной практике применяется способ практической оценки погрешности, не использующий фактического выражения главного члена погрешности, а опирающийся лишь на факт существования такого главного члена. Для простейших задач типа численного интегрирования этот способ связывается с именем Рунге, в более сложных случаях — с именами Ричардсона и Филиппова. Этот способ основан на выделении главного члена погрешности по результатам расчетов с двумя различными шагами.

Рассмотрим простейший вариант применения этого правила. Осуществим приближенное вычисление интеграла с помощью формулы трапеций с постоянным шагом и , т.е. . Согласно (13.1) имеем равенство

Мы стремимся построить алгоритм вычисления главного члена погрешности, не использующий его конкретного выражения. Для этого запишем (1) в виде совокупности приближенных равенств

Величины и определены в результате расчетов, поэтому мы имеем два приближенных равенства относительно двух неизвестных и С. Вычитая второе равенство из первого, получим

Таким образом,

Подставляя приближенное выражение в (2), получаем приближенное равенство

Таким образом, величина — является главным членом погрешности приближенного значения интеграла . Перенося в (4) значение в правую часть, получим формулу для более точного по порядку, чем , приближения к :

Таким образом, описанный способ построения главного члена погрешности порождает некоторую квадратурную формулу более высокого порядка точности.

Задача 1. Доказать, что правая часть в (5) совпадает с составной квадратурной формулой Симпсона.

Информация о величине главного члена погрешности часто используется для приближенного определения минимального количества узлов, достаточного для достижения заданной точности. Из (3) находим, что

а затем выбираем шаг интегрирования из условия

где — заданная абсолютная или относительная погрешность результата.

Выписанные выше соотношения носят асимптотический характер, поэтому значение С, найденное из (3), будет достоверным (т.е. близким к истинному) лишь при достаточно малом В ответственных случаях после решения задачи с шагом Н, удовлетворяющим условиям (6), для контроля над точностью решают задачу с шагом и опять определяют главный член погрешности, соответствующий шагу Н.

Описанный метод уточнения результата по итогам двух расчетов применим к методам любого порядка точности, причем не обязательно брать .

Задача 2. Имеется некоторый метод решения задачи с погрешностью

Произведено вычисление интеграла с и отрезками разбиения. Показать, что

здесь имеется в виду предельный переход при , .

Задача 3. Пусть

Показать, что

при условии, что .

Задача 4. Пусть

Показать, что

при условии, что .

В случаях, когда вычисляется большое количество интегралов с особенностями определенного вида, без серьезного теоретического анализа нельзя определить порядок сходимости метода на интегралах этого рода (из-за неограниченности производных мы не имеем права пользоваться результатом о существовании главного члена погрешности). В других же случаях порядок погрешности может быть известен, но неясно, как им он оказывается при реально используемых значениях М.

Рассмотрим вопрос о способах проверки выполнимости соотношения при реалыю допустимых значениях М.

Можно постараться подобрать модельную задачу с известным ответом, близкую к рассматриваемой. Тогда после проведения расчета мы будем иметь в распоряжении приближенное значение и погрешность . Может случиться, что имеются какие-то предположения о характере поведения этой величины, например что

(7)

В таком случае можно подсчитать для некоторой последовательности значения и посмотреть, стабилизируются ли эти величины с ростом М. Если нет предположения о характере поведения погрешности в данной задаче, то можно применить следующую методику.

Возьмем координатную плоскость (рис. 3.14.1), нанесем на нее точки

Если эти точки расположены хаотически, то это означает, что числа не настолько велики, чтобы в погрешности выделился главный член. Предположим, что асимптотическое неравенство (7) в данной области изменения параметра М выполняется с большой точностью. Из (7) следует, что

после дифференцирования имеем

Заметим, что операция дифференцирования асимптотических равенств, вообще говоря, незаконна.

Согласно (9) в случае, когда (7) выполняется достаточно точно, точки , получаемые в результате эксперимента на ЭВМ, должны лежать на кривой, тангенс угла наклона которой стремится к . Если угол наклона кривой меняется резко, то еще нет оснований применять правило Рунге.

Рис. 3.14.1

Проверку справедливости предположения о характере поведения погрешности можно осуществлять и таким путем. Если справедливо равенство

то

С другой стороны, если (11) выполняется при , то будет выполняться и (10). Поэтому вместо проверки практической выполнимости (10) можно производить проверку практической выполнимости (11), в частности, при помощи изучения графиков функций или расположения точек

Заметим, что возможности определения значения и вообще проверки условия (10) путем численного эксперимента довольно ограничены. Например, случаи и практически неразличимы при таком рассмотрении, потому что в обоих случаях .