Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 14. Правило Рунге практической оценки погрешностиМы получили, что главный член погрешности формулы трапеций с постоянным шагом интегрирования равен
В случае формул более высокого порядка точности можно получить представление главного члена погрешности квадратуры через производные высших порядков. Непосредственное использование этих выражений для оценки величины главного члена погрешности иногда неудобно, поскольку требует выполнения операции дифференцирования. В других задачах выражение главного члена погрешности может оказаться настолько сложным, что его вычисление требует дополнительного численного интегрирования. Поэтому в вычислительной практике применяется способ практической оценки погрешности, не использующий фактического выражения главного члена погрешности, а опирающийся лишь на факт существования такого главного члена. Для простейших задач типа численного интегрирования этот способ связывается с именем Рунге, в более сложных случаях — с именами Ричардсона и Филиппова. Этот способ основан на выделении главного члена погрешности по результатам расчетов с двумя различными шагами. Рассмотрим простейший вариант применения этого правила. Осуществим приближенное вычисление интеграла
Мы стремимся построить алгоритм вычисления главного члена погрешности, не использующий его конкретного выражения. Для этого запишем (1) в виде совокупности приближенных равенств
Величины
Таким образом,
Подставляя приближенное выражение
Таким образом, величина
Таким образом, описанный способ построения главного члена погрешности порождает некоторую квадратурную формулу более высокого порядка точности. Задача 1. Доказать, что правая часть в (5) совпадает с составной квадратурной формулой Симпсона. Информация о величине главного члена погрешности часто используется для приближенного определения минимального количества узлов, достаточного для достижения заданной точности. Из (3) находим, что
а затем выбираем шаг интегрирования из условия
где Выписанные выше соотношения Описанный метод уточнения результата по итогам двух расчетов применим к методам любого порядка точности, причем не обязательно брать Задача 2. Имеется некоторый метод решения задачи с погрешностью
Произведено вычисление интеграла с
здесь имеется в виду предельный переход при Задача 3. Пусть
Показать, что
при условии, что Задача 4. Пусть
Показать, что
при условии, что В случаях, когда вычисляется большое количество интегралов с особенностями определенного вида, без серьезного теоретического анализа нельзя определить порядок сходимости метода на интегралах этого рода (из-за неограниченности производных мы не имеем права пользоваться результатом о существовании главного члена погрешности). В других же случаях порядок погрешности может быть известен, но неясно, как им он оказывается при реально используемых значениях М. Рассмотрим вопрос о способах проверки выполнимости соотношения Можно постараться подобрать модельную задачу с известным ответом, близкую к рассматриваемой. Тогда после проведения расчета мы будем иметь в распоряжении приближенное значение
В таком случае можно подсчитать для некоторой последовательности Возьмем координатную плоскость
Если эти точки расположены хаотически, то это означает, что числа
после дифференцирования имеем
Заметим, что операция дифференцирования асимптотических равенств, вообще говоря, незаконна. Согласно (9) в случае, когда (7) выполняется достаточно точно, точки
Рис. 3.14.1 Проверку справедливости предположения о характере поведения погрешности можно осуществлять и таким путем. Если справедливо равенство
то
С другой стороны, если (11) выполняется при
Заметим, что возможности определения значения
|
1 |
Оглавление
|