§ 3. Примеры регуляризации

Пусть — действительная периодическая функция с периодом 1. Пусть известны значения величин при . Погрешности приближенных значений — независимые случайные величины с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией . Требуется получить таблицу приближенных значений производных . Погрешность оценивается в норме, соответствующей скалярному произведению

Далее рассматривается как периодически продолженная функция.

Для нахождения производной используем простейшую формул численного дифференцирования

Предположим, что функция достаточно гладкая и шаг h настолько мал, что при отсутствии погрешностей в значениях функции погрешность формулы численного дифференцирования

пренебрежимо мала. Тогда погрешность в значении производной представима в виде

Обозначая математическое ожидание знаком М, имеем равенство

Соглсано указанным выше свойствам случайных величин , имеем

(3)

Таким образом, , т.е. среднеквадратичное значение нормы погрешности равно . Мы видим, что погрешность приближенной формулы (1) возрастает с уменьшением в то же время для малости погрешности в предположении отсутствия погрешностей в исходной информации (2) требуется достаточная малость .

Чтобы выяснить пути уменьшения погрешности, проведем более детальное исследование. Пусть — дискретные коэффициенты Фурье (ДКФ) функции :

а — ДКФ функции . Величины будут ДКФ функции . Имеем

Чтобы вычислить ДКФ для , применим оператор численного дифференцирования D к функции :

Применяя оператор D к обеим частям (4), получим

Из равенства Парсеваля

следует, что

Имеем

мы заменили на , воспользовавшись тем, что действительны. Таким образом,

и

Возьмем некоторую функцию и положим

При заданных значениях можно вычислить коэффициенты , а следовательно, и величины . Пусть — составляющая погрешности формулы численного дифференцирования, являющаяся следствием погрешностей :

Аналогично (5) имеем

Если

то имеет смысл положить . Для выполнения первого из соотношений (6) существенна близость коэффициентов Фурье функций и для выполнения второго — малость при больших j, т. е. определенная гладкость .

Попробуем прибегнуть к сглаживанию функции при помощи метода регуляризации. Рассмотрим функционал

где . Если являются значениями гладкой функции , то величина

стремится к интегралу . Условие, что этот интеграл невелик, гарантирует определенную гладкость функции . Таким образом, есть какие-то основания считать, что функционал удовлетворяет требованиям, накладываемым на функционалы метода регуляризации. Определим сеточную функцию из условия минимума функционала и положим

Посмотрим, что является аналогом такой регуляризации для случая функций непрерывного аргумента. Пусть

и — функция, реализующая минимум функционала

Уравнение Эйлера для этого функционала записывается в виде

Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция

является решением этого уравнения. Произведем сравнение и Для малых . Если , то коэффициенты Фурье этих функций и близки между собой. Если , то коэффициенты Фурье функции много меньше коэффициентов Фурье функции . Таким образом, на языке техники регуляризация равносильна некоторой «фильтрации»: несущественно искажая гармоники с малой частотой колебания, она сильно ослабляет гармоники с большой частотой.

Если требуется еще меньше исказить амплитуды гармоник с малой частотой и лучше «отфильтровать» высокочастотные колебания, то можно рассмотреть функционал

Уравнение Эйлера для этого функционала имеет вид

отсюда

Рассмотрим графики множителей при и эти множители стремятся к 1, и, таким образом, при больших амплитуды соответствующих гармоник искажаются все меньше и меньше. В то же время при эти множители стремятся к 0 и, таким образом, соответствующие гармоники умножаются на все меньшие множители (рис. 5.3.1). Уаким образом, при и не целом

Рис. 5.3.1.

Вернемся к дискретному случаю. В выражении величина входит только в сумму слагаемых

Имеем систему уравнений относительно значений в точке экстремума:

Будем обозначать решение (7) через . Матрица системы уравнений (7) относительно неизвестных совпадает с матрицей положительно определенной квадратичной формы

поэтому ее определитель отличен от нуля, и система (7) имеет, и притом единственное, решение.

Пусть

Будем отыскивать периодическую функцию в виде

Сначала вычислим оператор второй разности от функции :

отсюда получаем

Подставим представление и в виде суммы Фурье в (7), преобразуем вторую разность с учетом (8), приведем подобные члены и получим

Это равенство будет удовлетворяться при

Таким образом,

Множитель убывает с ростом j. Следовательно, регуляризация с использованием функционала также приводит к ослаблению высших гармоник функции.

По аналогии с функционалами можно осуществлять регуляризацию с помощью функционалов

Решение системы уравнений (7) и систем линейных уравнений, возникающих при минимизации функционалов , можно получить за арифметических операций методом прогонки решения периодической сеточной краевой задачи (см. гл. 9).

По сравнению с регуляризацией с помощью функционалов при часто бывает более удобна -кратная регуляризация с помощью функционала .