§ 6. Практическая оценка погрешности элементарных квадратурных формул

Выше получены ряд квадратурных формул и строгие оценки погрешности для них. Однако это не решает всех проблем задачи численного интегрирования. Важнейшей задачей вычислительной математики является создание алгоритмов и пакетов программ, обеспечивающих получение решения задач с заданной точностью при минимальном объеме затрат человеческого труда и работы машины. Практическое применение полученных выше оценок требует аналитических выкладок и поэтому достаточно большого объема работы исследователя; кроме того, эти оценки часто оказываются слишком завышенными. Поэтому при создании таких систем обычно отказываются от использования подобных оценок, зачастую жертвуя строгой гарантией малости погрешности приближенного решения.

Можно говорить, что задача от ее возникновения до получения результата проходит через некоторую систему, состоящую из людей, решающих задачу, и ЭВМ. На первоначальном этапе применения ЭВМ наиболее узким местом, тормозившим работу этой системы, являлось недостаточное количество ЭВМ. Поэтому применение аналитических методов решения или аналитическое проведение оценок погрешности было оправданным.

Однако теперь, с повсеместным распространением вычислительной техники и внедрением ее в различные сферы деятельности общества, обстановка меняется. Узким местом этой системы становятся длительность выбора математической модели, метода решения задачи, программирования и других этапов, предшествующих непосредственному решению задачи на ЭВМ. Прохождение этих этапов особенно замедляется в случае, когда решением задач на ЭВМ занимаются представители конкретных наук, например филологи, медики, экономисты, географы и т. п., мало знакомые с численными методами или программированием. Обучение их тонкостям теории численных методов может превратиться в самоцель, отвлекающую от решения основных задач их науки, и в конечном счете обойтись обществу довольно дорого. Поэтому в настоящее время важнейшей проблемой является создание систем решения задач с максимально простым обращением, предполагающих малую квалификацию пользователя в отношении численных методов и программирования. Например, естественно потребовать, чтобы к программе вычисления интеграла с заданной точностью мог обратиться исследователь, знающий, что такое интеграл, но не умеющий ни интегрировать, ни дифференцировать.

Конечно, в развитии многих областей знания и техники решающая роль математики состоит в создании математической модели явления, а потом уже в применении ЭВМ для ее исследования. При разработке модели от специалиста этой отрасли знания требуется определенная математическая культура, и наше высказывание не следует понимать как предложение полностью избавить его от математики.

Подоплекой проводимых здесь рассуждений является следующее известное рассуждение. Когда мы занимаемся решением каких-то задач, то нужно учитывать эффективность нашей работы не только по совокупным затратам на решение этих задач, но и принимать во внимание убыток, понесенный обществом в результате того, что нами не решены некоторые другие, возможно более важные задачи.

При практическом анализе погрешности численного интегрирования часто пользуются различными полуэмпирическими приемами. Наиболее распространенным из этих приемов является следующий. Производятся вычисления по двум квадратурным формулам

далее некоторая линейная комбинация этих квадратур принимается за приближенное значение интеграла, а величина - за меру погрешности приближенной формулы . Довольно типичным является случай .

Описанный выше подход нельзя считать полностью оправданным вследствие его неоднозначности.

Пусть, например, — формула Симпсона:

- формула трапеций:

и . Тогда в качестве меры погрешности выступает величина . Если

— формула прямоугольников, то соответствующее значение . Таким образом, мы получили две различные эмпирические оценки погрешности одной и той же формулы Симпсона.

Попытаемся прояснить ситуацию. Выражение является некоторой квадратурной суммой

по совокупности узлов , принадлежащих объединению узлов, соответствующих квадратурам и . В то же время

где

Возьмем произвольную линейную комбинацию вида (2) и положим

Тогда мы получим приближенное значение интеграла с оценкой погрешности . Мы видим, что на таком пути можно получить неограниченное множество оценок погрешности одной и той же квадратуры (1).

Рассматриваемую задачу можно формулировать следующим образом. Приближенное значение интеграла вычисляется по формуле

Требуется построить выражение вида (2), дающее представление о погрешности квадратуры (3).

Предположим, что погрешность квадратуры (3) представляется в виде

Рассмотрим случай . Тогда в качестве можно взять величину

где - различные узлы квадратуры (3). Разделенная разность может быть выражена через производную, поэтому имеем

Следовательно, при справедливо соотношение и величину можно принять за меру погрешности.

Пусть, например, оценивается погрешность формулы трапеций

Согласно оценкам из § 3 имеем

Таким образом, мы можем принять за меру погрешности величину

Иначе обстоит дело, когда . Тогда нельзя получить никакого приближения к через величины , и проблема получения эмпирической оценки погрешности в рассматриваемой выше постановке не может быть решена.

Например, мы не можем получить удовлетворительного представления об оценке погрешности формулы Симпсона через значения . Однако можно получить некоторую завышенную оценку погрешности.

Рассмотрим один подход к разрешению возникшей проблемы. Предположим, что нам удалось получить оценку погрешности вида

Положим

При имеем . Таким образом, величину можно принять за приближенную оценку погрешности формулы (3). Эта оценка будет сильно завышенной, поскольку при предположении имеем . Однако лучшей оценки погрешности формулы (3) по сравнению с оценкой через , по-видимому, нельзя предложить. В случае формулы Симпсона верна оценка (5) при и, таким образом, за меру погрешности принимаем величину

В случае многомерных интегралов все практические способы оценки погрешности опираются на исходную, раскритикованную нами процедуру. Дело в том, что в многомерном случае погрешность оценивается через значения нескольких производных подынтегральной функции. Получение «обоснованных» оценок, подобных (6), для таких формул крайне затруднительно. Поэтому обращаются к исходной процедуре с последующей экспериментальной проверкой результатов ее применения.