§ 14. Применения аппарата интерполирования. Обратная интерполяция

Употребление интерполяционных многочленов оказывается полезным при решении такой задачи.

Пусть требуется найти экстремум функции и точку экстремума. Составим таблицу значений функции с крупным шагом. Из рассмотрения этой таблицы можно увидеть место расположения экстремума. В предполагаемой области расположения экстремума приблизим функцию интерполяционным многочленом и найдем его точку экстремума . В окрестности точки составим таблицу значений функции с более мелким шагом. Из рассмотрения этой таблицы можно уточнить расположение экстремума и т. д. Степень интерполяционного многочлена берется такой, чтобы точка экстремума определялась в явном виде. В одномерном случае берется интерполяционный многочлен Лагранжа или Бесселя второй степени или интерполяционный многочлен третьей степени. В многомерном случае, как правило, функция приближается многочленом второй степени.

На практике, начиная с окрестности приближения или следующего приближения , уже не строят подробной таблицы значений функции, а ограничиваются минимальным числом точек в окрестности имеющегося приближения , достаточным для построения интерполяционного многочлена.

Описанный способ является одним из наиболее употребительных при отыскании экстремума функции многих переменных.

В одномерном случае иногда после вычисления значения не вычисляют дополнительно никаких новых значений функции, а проводят интерполяцию, используя это значение и ранее вычисленные значения.

Другой типичной задачей, где может быть применен аппарат интерполирования, является нахождение корня X уравнения .

Путь решения этой задачи тот же самый. Составляем таблицу значений функции; определяем по ней грубо, где находится корень уравнения, затем составляем таблицу с более мелким шагом и т.д.

Если вычисление функции относительно нетрудоемко, неразумно применять в процессе вычислений интерполяцию степени выше второй; в противном случае возникает задача нахождения корней многочленов, сама требующая достаточно большого числа арифметических операций.

Если вычисление функции трудоемко, может оказаться более выгодным пойти по пути увеличения степени интерполяционного многочлена.

В случае, когда в окрестности функция , обратная к , является достаточно гладкой, более эффективным может оказаться применение обратной интерполяции. Обратной интерполяцией называется следующий алгоритм. Пусть известны значения функции при . Эта информация эквивалентна тому, что известны значения обратной функции. При условии допустимости интерполяции по переменной можно заменить обратную функцию интерполяционным многочленом , удовлетворяющим условиям

и положить . Такой способ особенно удобен, если нас интересуют значения решений уравнений при достаточно большом числе значений d или желательно получение явного выражения корня уравнения в зависимости от параметра d. Если интерполяция по узлам не обеспечивает нужной точности, полагаем . Далее, в зависимости от обстановки, целесообразно заменить значением интерполяционного многочлена по всем узлам или по некоторым из этих узлов, ближайшим к .