§ 4. Сведение многомерных задач к одномерным

Выше рассматривались способы решения многомерных задач, не требующие дополнительной информации о распределении узлов , в которых известны значения функции. Такие способы применяются в случае, когда отсутствует возможность распоряжаться выбором узлов.

Если рассматриваемая функция задана аналитически, то узлы можно выбирать по желанию. При удачном расположении узлов приближение, интерполирование, численное дифференцирование и интегрирование функций многих переменных могут быть сведены к последовательному осуществлению этих операций над функциями одной переменной. Рассмотрим случай расположения узлов, изображенных точками на рис. 5.4.1. Здесь множество всех узлов разбивается на подмножества узлов (в данном случае ), лежащих соответственно на прямых .

Рис. 5.4.1.

Рассмотрим задачу вычисления значения некоторого оператора

Точка на рис. 5.4.1 изображена символом о. Частный случай соответствует задаче вычисления значения функции.

Возьмем какую-либо формулу вычисления производной по значениям функции в узлах :

при этом не имеется в виду, что используются значения функции во всех точках . Например, в случае численного дифференцирования речь может идти о простейшей формуле численного дифференцирования по ближайшим к двум узлам.

Подставляя , получим

(точки изображены на рис. 5.4.1 символом *).

Задача численного дифференцирования функции двух переменных свелась к задаче численного дифференцирования функций одной переменной. Такая задача уже рассматривалась ранее.

Пусть , — узлы, образующие множество . При каждом возьмем некоторую формулу вычисления производной по значениям функции в узлах :

Подставляя сюда , аналогично (1) получим

Воспользовавшись этими соотношениями, из (1) получаем

Заметим, что формулу (2) нужно строить лишь для значений таких, что .

Наиболее часто узлы располагаются в узлах некоторой сетки, являющейся произведением одномерных сеток

иначе говоря, состоит из точек при . В случае расположения узлов в вершинах такой сетки та же формула численного дифференцирования получится, если поменять местами численное дифференцирование по Переменным и , т. е. сначала получить некоторую формулу

а затем воспользоваться формулой

Численное дифференцирование (интерполирование) функций большего числа переменных производится аналогично последовательным сведением к численному дифференцированию функций на единицу меньшего числа переменных.

При численном дифференцировании функций многих переменных нужно особенно следить за величиной отбрасываемых остаточных членов. Рассмотрим, например, задачу, где применение описанного выше приема последовательного численного дифференцирования может привести к получению неправильной формулы. Пусть значения функции известны в узлах сетки . Требуется вычислить значение . Выпишем простейшую формулу численного дифференцирования функции одной переменной

По формуле Тейлора

имеем

Поэтому можно написать, что

В свою очередь, возьмем какие-либо аппроксимации производных . Имеем равенства:

После подстановки (5), (6) в (4) получим

Здесь при построении формулы численного дифференцирования одновременно учитывался остаточный член.

Соотношение (7) можно переписать в виде

Таким образом, если бы мы не обращали внимание на величину погрешности аппроксимации, то получили бы приближенную формулу с конечной погрешностью

в данном случае аппроксимирующую не требуемую производную, а выражение .

Если в (5) и (6) использовать одни и те же формулы численного дифференцирования по переменной , то вместо (7) получается формула с погрешностью, стремящейся к нулю при Например, вместо (6) воспользуемся равенством

(8)

После подстановки (5) и (8) в (4) получим

Если производная непрерывно дифференцируема в окрестности начала координат, то ; поэтому

Мы получили, что формула численного дифференцирования

имеет погрешность .

Покажем, как получить формулу (9) методом неопределенных коэффициентов. Зададимся видом формулы численного дифференцирования

Такой вид правой части выбран из соображений размерности. Пусть — обозначение размерности некоторой величины; например, если — скорость, то . Производная имеет размерность , функция — размерность — размерность — размерность . Таким образом, величины имеют ту же размерность, что и , поэтому есть основание ожидать, что в разумной формуле численного дифференцирования (10) коэффициенты будут безразмерными величинами, не зависящими от шагов сетки.

Положим . Выпишем относительно точки (0, 0) с точностью до членов второго порядка:

В предположении, что трижды непрерывно дифференцируема, можно показать справедливость соотношения и в узлах сетки, входящих в выражение . Поэтому в предположении, что , имеем

Если и одного порядка, то и формула численного дифференцирования (10) имеет порядок . Выражение является линейным функционалом от функции , поэтому для любого многочлена второй степени, если

Получаем систему уравнений

Эта система шести линейных уравнений с четырьмя неизвестными имеет решение , соответствующее приближенной формуле (9).

Точно таким же образом отроятся формулы численного интегрирования. Пусть вычисляется интеграл

Его можно представить в виде

Здесь , — проекция области G на ось , — сечение множества G плоскостью . Воспользуемся какой-либо квадратурной формулой для вычисления первого из этих интегралов

Задача вычисления исходного интеграла свелась к вычислению интегралов размерности, на единицу меньшей. Полагаем теперь

В итоге получаем

В одномерном случае для всех операций численного анализа были получены оценки погрешности через производные рассматриваемой функции. Посмотрим, какие оценки погрешности являются следствием этих оценок для многомерных задач. Значение некоторого оператора от функции приближается значениями других операторов, причем погрешность этой замены можно оценить согласно формулам оценки погрешности одномерных формул. Однако эти новые значения сами уже содержат погрешности, поэтому в суммарную погрешность эти погрешности войдут с некоторыми множителями.

Обратимся к задаче интегрирования. Пусть

Последовательно подставляя в равенство

выражения , получаем цепочку соотношений

где

Из последнего равенства видно, что погрешность аппроксимации может оказаться существенно больше, чем в одномерном случае, если коэффициенты - большие.

Формально сведение многомерной задачи к одномерной имеет одинаковый характер и в случае задачи численного дифференцирования (интерполирования), и в случае численного интегрирования. Однако между этими задачами есть такое существенное различие: задача численного дифференцирования (интерполирования) чаще ставится как задача нахождения оператора от функции по значениям на некоторой заданной совокупности узлов Q. Для задачи интегрирования более типичной является возможность распоряжаться выбором узлов.

При осуществлении многомерных операций численного дифференцирования (интерполирования и интегрирования) функций, заданных на сетке, являющейся произведением одномерных сеток, разумно использовать одинаковые формулы для аппроксимации промежуточных величин.

Имеется в виду, что, например, формулы (11) должны иметь вид

т.е. и зависят только от . Правая часть (12) тогда приобретает вид

При построении такой квадратуры мы неявно предполагаем, что область интегрирования — прямоугольный параллелепипед с ребрами, параллельными координатным осям.

Такие формулы численного интегрирования (интерполирования, дифференцирования называют прямым произведением соответствующих одномерных формул численного интегрирования (интерполирования, дифференцирования).

В § 11 будет приведен более сложный пример прямого произведения квадратуры по отрезку на квадратуру по сфере. В случае применения таких аппроксимаций так же, как при вычислении производной по формуле (9), оказывается, что некоторые составляющие погрешности аппроксимации компенсируются.

В случае задачи интегрирования возможна такая ситуация: при гладкой подынтегральной функции может оказаться, что промежуточные интегралы не обладают достаточной гладкостью. Пусть вычисляется интеграл по единичному кругу

при гладкой функции . Если то функция

имеет неограниченные производные в точках и поэтому при численном интегрировании по переменной следует использовать специальные приемы вычисления интегралов от таких функций — переменный шаг интегрирования, в частности интегрирование с автоматическим выбором шага, выделение особенностей и т. д. Целесообразнее записать этот интеграл в виде

где все подынтегральные функции уже гладкие. Подынтегральная функция внутреннего интеграла периодическая, поэтому имеет смысл применять квадратуру .

Задача 1. Функция задана в узлах сетки . Построить формулы с погрешностями аппроксимации вычисления значения .