§ 8. Повышение точности интегрирования за счет разбиения отрезка на равные части

Из оценки (2.1) вытекает, что погрешность квадратуры оценивается через погрешность, с которой функция может быть приближена многочленами степени т. Поэтому может показаться естественным добиваться увеличения точности за счет повышения степени многочленов, для которых эта квадратура точна. Однако такой путь содержит свои «подводные камни».

При неудачном выборе узлов может оказаться, что величина растет вместе с . Тогда в оценке (2.1) величина V также растет вместе с и может оказаться, что уменьшение с ростом не компенсирует увеличение V.

Например, для простейшего равномерного распределения узлов

оказывается, что при имеем . В результате этого, например, для аналитической функции

при .

Рассмотрим случай, когда отрезок интегрирования есть , и сформулируем общую теорему, указывающую на необходимость осторожного обращения с формулами, точными для многочленов очень высокой степени. Пусть при каждом мы имеем квадратуру

точную для многочленов степени . Обозначим через число узлов квадратуры (1), принадлежащих отрезку .

Теорема (без доказательства). Пусть существует отрезок такой, что

Тогда можно указать и такие, что для одной из аналитических функций

будет выполняться соотношение

Таким образом, узлы квадратур (1), точных для многочленов степени при больших должны располагаться с такой же плотностью, как нули ортогональных многочленов, т. е. как и узлы квадратур Гаусса. Иначе такие квадратуры нельзя рассматривать как универсальные.

Перепишем оценку (5.4) погрешности формул Гаусса:

Пусть подынтегральная функция непрерывна. Тогда, согласно теореме Вейерштрасса, при любом найдется многочлен , для которого , откуда следует, что при . Таким образом, для любой непрерывной функции погрешность формул Гаусса при .

Задача 1. Пусть — функция, интегрируемая по Риману. Доказать, что для формул Гаусса при .

Из сказанного выше видно, что формулы Гаусса могли бы быть положены в основу универсальных программ вычисления интегралов с заданной точностью. При этом придется вводить в ЭВМ каким-либо образом узлы и веса этих квадратур.

Во многих случаях возникает задача вычисления интегралов, где подынтегральная функция или ее производные невысокого порядка имеют участки резкого изменения, например обращаются в бесконечность. Такие функции плохо приближаются многочленами сразу на всем отрезке интегрирования. Здесь часто оказывается более выгодным разбить исходный отрезок на части и на каждой части применять свою квадратурную формулу, Гаусса или какую-либо другую.

Пусть вычисляется интеграл . Разобьем отрезок на М частей , где . Для вычисления интеграла по каждой из частей применим какую-либо квадратурную формулу из вида

с оценкой остаточного члена

В результате интеграл по всему отрезку будет аппроксимирован суммой

с оценкой остаточного члена

Выражение (4) часто называют составной или обобщенной квадратурной формулой.

Рассмотрим наиболее простой для исследования случай, когда отрезки разбиения имеют одинаковую длину . Тогда оценка погрешности (5) после замены на величину приобретает вид

или

Приведем конкретные квадратурные формулы и оценки погрешности для частных случаев формул (3).

1. Составная формула трапеций с постоянным шагом интегрирования. В этом случае при постоянном шаге формула (3) приобретает вид

а остаточный член оценивается следующим образом:

2. Составная формула Симпсона с постоянным шагом интегрирования. При постоянном шаге формула (3) приобретает вид

где . Для остаточного члена справедлива оценка

Последняя запись оценки наиболее употребительна.

Мы получили формулы с порядком погрешности по отношению к общему числу узлов интегрирования в предположении ограниченности Заметим, что в случае формул трапеций и Симпсона общее число узлов N оказалось меньше, чем , поскольку концы элементарных отрезков были узлами интегрирования и значения функции в этих концах использовались для вычисления интегралов по двум соседним элементарным отрезкам.

Задача 2. Пусть получить оценку погрешности формулы трапеций

где — абсолютная постоянная.

Задача 3. Пусть получить оценку погрешности формулы Симпсона

где — абсолютная постоянная.

Пусть, например, вычисляется

Так как при , то мы не можем получить никаких оценок погрешности через . В то же время функция монотонна на отрезке [0, 1], поэтому

Следовательно, при использовании квадратуры (4), соответствующей с постоянным шагом , согласно (9) имеем оценку погрешности .

В данном примере из оценки (6) малость погрешности не следовала; в то же время на основании (9) мы заключаем, что эта погрешность порядка .

Не следует думать, что в случае функций с малым числом ограниченных производных составные формулы численного интегрирования имеют лучший порядок сходимости по сравнению с формулами Гаусса. Предположим, что подынтегральная функция имеет q ограниченных производных. Тогда, применяя составную формулу (4), соответствующую получим приближенное значение интеграла с погрешностью .

С другой стороны, известно, что для такой функции . Поэтому из (5.4) следует оценка погрешности формулы Гаусса с n узлами

Таким образом, порядок оценки в обоих случаях одинаков.

Обратим внимание еще на одно удобство использования формул Гаусса сразу по всему отрезку интегрирования. Не нужно оценивать число ограниченных производных подынтегральной функции и в соответствии с этим выбирать наиболее подходящую формулу численного интегрирования по отрезкам разбиения при применении формул Гаусса порядок погрешности обеспечивается автоматически. Конечно, не нужно думать, что формула, имеющая более высокий порядок скорости сходимости, при конкретном числе узлов всегда точнее формулы более низкого порядка скорости сходимости.