§ 13. О погрешности округления при интерполяции

Предположим, что выбран некоторый способ интерполяции. Выше мы получили некоторое представление о погрешности, являющейся следствием замены функции многочленом. Однако существует еще одна причина погрешности, в частности вследствие округления этих значений. Пусть требуется вычислить значение по формуле

являющейся общим видом рассматриваемых нами интерполяционных формул. Поскольку реально заданы не , а приближенные значения , то в результате будет получено значение

Если известны границы изменения значений , то можно оценить верхнюю грань погрешности

Например, при условии имеем оценку

Величина может оказаться очень большой.

Задача 1. Пусть интерполируется по узлам . Показать, что .

Задача 2. Доказать, что если узлы интерполяции совпадают с нулями многочлена Чебышева, то .

Если мы вычисляем значение при интерполяцией по узлам , то

Таким образом, при линейной интерполяции погрешность, являющаяся следствием округления значений функции, не превосходит погрешности этих значений.

Наличие большого числа формул интерполирования, применявшихся во времена ручного счета, отчасти объясняется именно поисками алгоритмов, порождающих минимальную вычислительную погрешность.