Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава 11. Численные методы решения интегральных уравненийВ этой главе мы дадим краткое описание алгоритмов решения интегральных уравнений, не вникая подробно в вопросы оценки погрешности. Задача решения интегральных уравнений возникает как вспомогательная при решении краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными и как самостоятельная при исследовании работы ядерных реакторов, при решении так называемых обратных задач геофизики, при обработке результатов наблюдений и т. п. Мы ограничимся рассмотрением случая интегральных уравнений с одной неизвестной функцией и одной независимой переменной. § 1. Решение интегральных уравнений методом замены интеграла квадратурной суммойВ теории численных методов решения интегральных уравнений рассматриваются следующие типичные задачи. Найти решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода
интегрального уравнения Фредгольма второго рода
интегрального уравнения Вольтерра первого рода
интегрального уравнения Вольтерра второго рода
и задачи на собственные значения
В последнем случае ищутся числа Воспользуемся какой-либо формулой численного интегрирования
где
где Рассмотрим для примера уравнение Фредгольма второго рода (2). С помощью соотношения (7) его можно переписать в виде
остаточный член
Отбрасывая остаточный член, приходим к системе линейных алгебраических уравнений
Для решения этой задачи могут быть применены стандартные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Будем рассматривать случай вещественных Однако матрица системы уравнений (9) не обязательно будет симметричной. Мы видели ранее, что решение систем уравнений с симметричной матрицей в определенном смысле предпочтительнее решения системы уравнений с несимметричной матрицей: шире класс точных и итерационных методов, которые могут быть применены для решения таких систем. Систему уравнений (9) можно преобразовать к виду, в котором матрица системы будет симметричной. Для этого умножим
уже с симметричной матрицей. Другой возможный способ симметризации состоит в следующем. Умножим
В случае
необходимость в таких симметризациях отпадает. Задача 1. Рассмотреть случай комплексного самосопряженного ядра Конечно, как и в случае решения произвольных систем линейных алгебраических уравнений, при использовании методов Гаусса или квадратного корня в процессе вычислений может возникнуть операция деления на нуль или переполнение. Задача 2. Рассмотреть случай формулы прямоугольников, когда выполнено соотношение (12), и постоянного ядра
Применить для решения системы (9) метод исключения Гаусса при естественном порядке исключения неизвестных
Показать, что
Задача 3. Показать, что при условии
при решении системы (9) методом Гаусса всегда
При расмотреиии задачи на собственные значения (5) при аппроксимации интеграла квадратурной суммой (6) возникает алгебраическая задача на собственные значения:
Для ее решения могут быть применены стандартные методы решения задач на собственные значения. В случае Задача 4. Пусть все Указание. Один из возможных путей решения задачи заключается в рассмотрении итерационного процесса (гл. 6)
нахождения собственного вектора при начальном условии Интегральное уравнение Вольтерра второго рода (4) можно записать в виде
с ядром Однако на таком пути мы можем получить методы с плохой сходимостью при Поэтому целесообразнее поступить следующим образом. Зададимся каким-либо набором точек
и для вычисления интегралов
применим какие-либо квадратурные формулы достаточно высокой точности, использующие значения подынтегральной функции в точках Рассмотрим следующую схему решения задачи (4). Пусть Если ядро Если
|
1 |
Оглавление
|