Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. Методы Рунге—КуттаВ частном случае
Этот метод называется методом Эйлера. Можно построить другой класс расчетных формул, к которому принадлежит метод Эйлера. Укажем сначала простейшие методы этого класса, получаемые из наглядных соображений. Пусть известно значение
При замене интеграла в правой части на величину
Поскольку
Отбрасывая член порядка
иначе,
соответствующая расчетная формула
называется неявной формулой Адамса второго порядка точности. В некоторых случаях, в частности, когда Заменим
Тогда правая часть изменится на величину
где у находится между
Условию (5) удовлетворяет результат вычислений по формуле Эйлера
Последние соотношения определяют пару расчетных формул
При малых h выражение в правой части (4) удовлетворяет условию сжимаемости (§ 7.1), поэтому уравнение (4) также можно решать методом простой итерации:
Если
то Можно предложить теоретически обоснованный критерий, позволяюший при малых h выбирать каждый раз наиболее целесообразное число итераций. Однако его использование требует очень большого объема дополнительных вычислений. Поэтому выбор между числом итераций, равным 1 или 2, обычно осуществляется на основе предшествующего опыта, вычислительного эксперимента или просто «волевым» образом. Построим другую пару формул с погрешностью на шаге такого же порядка. Интеграл в правой части (2) заменим по формуле прямоугольников:
или, что все равно,
Если
то, как и в предшествующем случае, имеем
В качестве
Полученные методы относятся к семейству методов Рунге—Кутта, имеющих следующий вид. В процессе вычислений фиксированы некоторые числа
последовательно получаем
и полагаем
Рассмотрим вопрос о выборе параметров
где
здесь и далее
Рассмотрим случай
где
Согласно исходному дифференциальному уравнению
Подставим в выражения
Соотношение
соотношение
Таким образом, В случае
При
Мы использовали выше формулировку «наиболее употребительный». Эта формулировка отражает исторически сложившуюся тенденцию в использовании численных методов. Казалось бы, в руководстве по численным методам следовало не просто отражать тенденцию, а указать, какая формула из данного семейства расчетных формул является наилучшей. Однако ответ на такой вопрос не прост. У формул одинакового порядка точности по h главные члены погрешности на шаге часто оказываются непропорциональными. Например, вследствие (8), (9) главный член погрешности формулы (6) равен
где
а у формулы (7) —
Поэтому можно указать два уравнения таких, что для первого уравнения меньшую погрешность дает метод (6), а для второго уравнения — метод (7). В подобной ситуации рекомендации в пользу того или другого метода должны основываться на «волевом решении», принятом с учетом традиций и практики использования методов. Понятие практики вычислительной работы является довольно неопределенным. Число различных классов реально встречающихся дифференциальных уравнений существенно превосходит число задач, на которых производится сравнение методов их численного решения, поэтому суждения «с позиций практики» не всегда объективны. Однако несмотря на такую неопределенность, критерий практики часто несет в себе определенную положительную информацию, которая зачастую на данном этапе развития науки не может быть формализована или обоснована. Если исторически первый из методов рассматриваемого класса оказался приемлемым, то в дальнейшем пользователи привыкают к нему. Замена этого метода на другой, даже более эффективный метод требует определенных затрат времени на «привыкание» пользователей к новому методу (а следовательно, и определенных психологических затрат). Чтобы широкий круг пользователей При дальнейшем рассмотрении для нас будет существенно, что погрешность метода на шаге
Наметим основные этапы доказательства этого соотношения. Предположим, что правая часть и все ее производные до порядка
Имеем равенство
Обе величины Поскольку правая часть дифференцируема
|
1 |
Оглавление
|