§ 2. Методы Рунге—Кутта

В частном случае формула (1.3) имеет вид

Этот метод называется методом Эйлера. Можно построить другой класс расчетных формул, к которому принадлежит метод Эйлера. Укажем сначала простейшие методы этого класса, получаемые из наглядных соображений. Пусть известно значение и требуется вычислить значение . Рассмотрим равенство

При замене интеграла в правой части на величину погрешность имеет порядок , т.е.

Поскольку , отсюда имеем

Отбрасывая член порядка и обозначая , получим расчетную формулу Эйлера (1). Для получения более точной расчетной формулы нужно точнее аппроксимировать интеграл в правой части (2). Воспользовавшись квадратурной формулой трапеции, получим

иначе,

соответствующая расчетная формула

называется неявной формулой Адамса второго порядка точности. В некоторых случаях, в частности, когда линейна по у, это уравнение может быть разрешено относительно . Обычно же это уравнение неразрешимо явно относительно , поэтому произведем дальнейшее преобразование алгоритма.

Заменим в правой части (3) на некоторую величину

Тогда правая часть изменится на величину

где у находится между . Вследствие предположения (5) эта величина имеет порядок . Таким образом, при условии (5) имеет место соотношение

Условию (5) удовлетворяет результат вычислений по формуле Эйлера

Последние соотношения определяют пару расчетных формул

При малых h выражение в правой части (4) удовлетворяет условию сжимаемости (§ 7.1), поэтому уравнение (4) также можно решать методом простой итерации:

Если вычисляется по методу Эйлера:

то , получаемое на первом шаге итерации, совпадает с , получаемом по формуле (6). Дальнейшие итерации не приводят к повышению порядка точности по , в то же время иногда главный член погрешности уменьшается при переходе от . Если такое уменьшение погрешности компенсирует возрастание вычислительных затрат на шаге, то оно целесообразно.

Можно предложить теоретически обоснованный критерий, позволяюший при малых h выбирать каждый раз наиболее целесообразное число итераций. Однако его использование требует очень большого объема дополнительных вычислений. Поэтому выбор между числом итераций, равным 1 или 2, обычно осуществляется на основе предшествующего опыта, вычислительного эксперимента или просто «волевым» образом.

Построим другую пару формул с погрешностью на шаге такого же порядка. Интеграл в правой части (2) заменим по формуле прямоугольников:

или, что все равно,

Если

то, как и в предшествующем случае, имеем

В качестве можно взять результат вычислений по формуле Эйлера с шагом . Этим соотношениям соответствует пара расчетных формул

Полученные методы относятся к семейству методов Рунге—Кутта, имеющих следующий вид. В процессе вычислений фиксированы некоторые числа

последовательно получаем

и полагаем

Рассмотрим вопрос о выборе параметров . Обозначим . Если — достаточно гладкая функция своих аргументов, то — гладкие функции параметра h. Предположим, что настолько гладкая, что существуют производные выбраны так, что . Кроме того, предположим, что существует некоторая гладкая функция , для которой соответствующее значение . Согласно формуле Тейлора выполняется равенство

где . Величина называется погрешностью метода на шаге, a s — порядком погрешности метода. При имеем

здесь и далее . Равенство выполняется для всех гладких функций лишь в случае . Этому значению соответствует метод Эйлера. Для погрешности этого метода на шаге, согласно (8), получаем выражение

Рассмотрим случай . Имеем

где . Вычислим производные функции

Согласно исходному дифференциальному уравнению

Подставим в выражения значение и воспользуемся этими соотношениями; получим

Соотношение выполняется при всех , если

соотношение выполняется, если

Таким образом, при всех если выполнены три указанных выше соотношения (10), (11) относительно четырех параметров. Задавая произвольно один из параметров, получим различные методы Рунге—Кутта с погрешностью второго порядка малости по h. Например, при получаем , что соответствует паре расчетных формул (6). При получаем , что соответствует паре расчетных формул (7). В случае уравнения , согласно (9) имеем независимо от значений . Отсюда следует, что нельзя построить формулы Рунге—Кутта со значениями и .

В случае расчетных формул, соответствующих значению , не существует. Наиболее употребительна совокупность расчетных формул при :

При нельзя построить расчетных формул рассматриваемого вида со значением при наиболее употребительна совокупность расчетных формул:

Мы использовали выше формулировку «наиболее употребительный». Эта формулировка отражает исторически сложившуюся тенденцию в использовании численных методов. Казалось бы, в руководстве по численным методам следовало не просто отражать тенденцию, а указать, какая формула из данного семейства расчетных формул является наилучшей. Однако ответ на такой вопрос не прост.

У формул одинакового порядка точности по h главные члены погрешности на шаге часто оказываются непропорциональными. Например, вследствие (8), (9) главный член погрешности формулы (6) равен

где

а у формулы (7) —

Поэтому можно указать два уравнения таких, что для первого уравнения меньшую погрешность дает метод (6), а для второго уравнения — метод (7).

В подобной ситуации рекомендации в пользу того или другого метода должны основываться на «волевом решении», принятом с учетом традиций и практики использования методов. Понятие практики вычислительной работы является довольно неопределенным. Число различных классов реально встречающихся дифференциальных уравнений существенно превосходит число задач, на которых производится сравнение методов их численного решения, поэтому суждения «с позиций практики» не всегда объективны. Однако несмотря на такую неопределенность, критерий практики часто несет в себе определенную положительную информацию, которая зачастую на данном этапе развития науки не может быть формализована или обоснована.

Если исторически первый из методов рассматриваемого класса оказался приемлемым, то в дальнейшем пользователи привыкают к нему. Замена этого метода на другой, даже более эффективный метод требует определенных затрат времени на «привыкание» пользователей к новому методу (а следовательно, и определенных психологических затрат). Чтобы широкий круг пользователей согласился на подобную перестройку, необходимо существенное преимущество нового метода по какой-либо из характеристик.

При дальнейшем рассмотрении для нас будет существенно, что погрешность метода на шаге имеет главный член, а именно справедливо представление вида

Наметим основные этапы доказательства этого соотношения. Предположим, что правая часть и все ее производные до порядка включительно ограничены равномерно в области . Тогда также будут равномерно ограничены производные всех решений уравнения до порядка включительно. Согласно формуле Тейлора соотношение (8) можно записать в уточненной форме

Имеем равенство

Обе величины и явно выражаются через значения в точке функции и ее производных порядка не выше s; примеры таких явных выражений (при ) мы уже получали.

Поскольку правая часть дифференцируема раз, то отсюда следует, что функция дифференцируема в области G и ее производные равномерно ограничены в этой области. Аналогично устанавливается, что величина равномерно ограничена при . Таким образом, соотношение (12) имеет место.