§ 3. Методы с контролем погрешности на шаге

Часто в ходе расчетов бывает целесообразно изменять шаг интегрирования, контролируя величину погрешности метода на шаге. При практической оценке этой величины можно, например, рассуждать следующим образом. Главный член погрешности на шаге интегрирования есть

Точка находится близко от точки , поэтому погрешность на следующем шаге интегрирования будет иметь такой же главный член. В результате двух шагов будет получено приближение к значению такое, что

Если, исходя из точки , применить метод Рунге—Кутта с шагом , то получится приближенное значение , для которого

Из этих соотношений вытекает представление главного таена погрешности на шаге

При желании можно уточнить полученное приближенное значение, прибавив к нему величину главного члена погрешности, т. е. положить

Для более гибкого управления выбором шага интегрирования иногда Желательно иметь возможность совершать шаг интегрирования и оценивать погрешность при меньшем количестве вычисляемых значений правых частей.

Примером совокупности формул с теми же характеристиками точности при меньшем числе обращений к правой части может служить совокупность формул

с главным членом погрешности

Если положить , то получим метод рассматриваемого типа со значением и соответственно погрешностью на шаге порядка .

В одной распространенной стандартной программе управление шагом интегрирования осуществляется по методу, близкому к горизонтальной процедуре из § 3.17. Задаются мерами погрешности на шаге и некоторым параметром порядка . Обычно — порядок величины по часто берут . Если шаг признается слишком большим и делается попытка интегрирования, начиная с тех же значений , с вдвое более мелким шагом . Если , то достигнутая точность признается удовлетворительной. В случае, когда , следующий шаг берется равным h, а в случае, когда — равным . Такой относительно простой способ выбора переменного шага интегрирования часто позволяет решить задачу с существенно меньшими затратами времени ЭВМ по сравнению со случаем интегрирования с постоянным шагом (при той же точности результата).