Глава 3. Численное интегрирование

Эта глава посвящена методам приближенного вычисления одномерных интегралов. Сначала строятся простейшие формулы для приближенного вычисления интегралов по отрезку. Такие формулы называют квадратурными. В многомерном случае (когда размерность интеграла больше единицы) формулы для приближенного вычисления интеграла называют кубатурнъши.

Изучается вопрос о повышении точности вычисления интегралов за счет повышения порядка точности квадратур (т. е. повышения степени полипомов, для которых квадратуры точны), за счет разбиения отрезка на части, за счет сведения интегралов от функций с «особенностями» к интегралам от более гладких функций.

На примере численного интегрирования иллюстрируются требования, предъявляемые к стандартным программам и алгоритмам, которые кладутся в их основу. Даются описания ряда стандартных программ численного интегрирования.

§ 1. Простейшие квадратурные формулы. Метод неопределенных коэффициентов

Простейшие квадратурные формулы можно получить из наглядных соображений. Пусть вычисляется интеграл

Если на рассматриваемом отрезке , то можно положить , - произвольная точка на . Естественно взять в качестве среднюю точку отрезка; тогда получим формулу прямоугольников

Предположим, что функция на близка к линейной; тогда естественно заменить интеграл площадью трапеции с высотой и основаниями и (рис. 3.1.1). Получим формулу трапеций

Если функция близка к линейной, то из наглядных соображений видно, что формула прямоугольников также должна давать неплохой результат: дело в том, что есть площадь любой трапеции с высотой b—а и средней линией ; в частности, она равна площади трапеции, у которой одна из сторон лежит на касательной к графику функции в точке (рис. 3.1.2).

Рис. 3.1.1

Рис. 3.1.2

Более сложные квадратурные формулы, так же как и формулы численного дифференцирования, строятся методом неопределенных коэффициентов или при помощи аппарата интерполирования.

Рассмотрим простейший пример построения квадратуры методом неопределенных коэффициентов. Строится квадратурная формула

точная для многочленов наиболее высокой степени. Погрешность квадратуры

является линейным функционалом, и при имеем

Таким образом, нужно добиться выполнения равенств

при возможно большем значении . Получаем уравнения

Поскольку нужно определить 3 свободных параметра, то, вообще говоря, можно решить лишь первые три уравнения, из которых получаем

В данном конкретном случае четвертое уравнение выполнено автоматически и мы получаем квадратуру, точную для многочленов третьей степени, называемую формулой Симпсона.

Вообще говоря, требуется вычислять интегралы не по отрезку , а по произвольным отрезкам . Переход к отрезку удобен тем, что для него арифметические выкладки, выполняемые при построении квадратуры, оказываются короче.

Иногда оказывается, что подынтегральная функция хорошо приближается не многочленами, а так называемыми обобщенными многочленами, т.е. линейными комбинациями вида , где — какие-то конкретные линейно независимые функции. Тогда методом неопределенных коэффициентов строится квадратура, точная для функций такого вида.

Наиболее часто такие квадратуры используются в случае, когда хорошо приближается функциями, представленными в виде произведения некоторой фиксированной функции на многочлен, т.е. функциями вида

В этом случае функцию называют весом или весовой функцией, полагают и исходный интеграл записывают в виде

Задача построения квадратуры

точной для всех функций вида , где — многочлен степени , заменяется задачей построения квадратуры

точной для всех многочленов степени . В случае, когда все отличны от нуля и бесконечности, эти задачи эквивалентны. В дальнейшем подынтегральную функцию в таких интегралах будем обозначать как .

Перейдем к оценке погрешности квадратурных формул.