§ 5. Наилучшее равномерное приближение

Если норма в линейном нормированном пространстве определяется не через скалярное произведение, то нахождение элемента наилучшего приближения существенно усложняется. Рассмотрим типичную задачу, встречающуюся, в частности, при составлении стандартных программ вычисления функций.

Пусть R — пространство ограниченных вещественных функций, определенных на отрезке вещественной оси, с нормой

Ищется наилучшее приближение вида

Согласно теореме из §1 существует элемент наилучшего приближения, т.е. многочлен такой, что

при любом многочлене степени . Такой многочлен называют многочленом наилучшего равномерного приближения. Далее будут установлены необходимые и достаточные условия того, чтобы многочлен являлся многочленом наилучшего равномерного приближения для непрерывной функции.

Теорема Балле-Пуссена. Пусть существуют точки отрезка такие, что

т. е. при переходе от точки к точке величина меняет знак. Тогда

Доказательство. В случае утверждение теоремы очевидно. Пусть . Предположим противное, т.е. что для многочлена наилучшего приближения

Имеем

В точках первое слагаемое превосходит по модулю второе, поэтому . Следовательно, многочлен степени n меняет знак раз. Получили противоречие.

Теорема Чебышева. Чтобы многочлен был многочленом наилучшего равномерного приближения непрерывной функции , необходимо и достаточно существование на по крайней мере точек таких, что

где (или ) одновременно для всех .

Точки , удовлетворяющие условиям теоремы, принято называть точками чебышевского альтернант.

Доказательство. Достаточность. Обозначим через L величину Применяя (1), имеем , но вследствие определения величины . Следовательно, и данный многочлен является многочленом наилучшего равномерного приближения.

Необходимость. Пусть данный многочлен является многочленом наилучшего равномерного приближения. Обозначим через нижнюю грань точек , в которых из определения L следует существование такой точки. Вследствие непрерывности имеем . Для определенности далее рассматриваем случай, когда . Обозначим через нижнюю грань всех точек , в которых , последовательно через обозначим нижнюю грань точек , в которых .

Вследствие непрерывности при всех имеем . Продолжаем этот процесс до значения или такого, что при . Если то утверждение теоремы выполнено.

Предположим, что оказалось . Вследствие непрерывности , при любом можно указать точку i такую, что при положим . Согласно проведенным выше построениям, на отрезках имеются точки, в частности точки , где , и нет точек, где . Положим

и рассмотрим поведение разности

на отрезках . Для примера обратимся к отрезку . На имеем поэтому

Кроме того, на этом отрезке выполняется неравенство ; поэтому при достаточно малых d, например при

на имеем . В то же время

Таким образом, на этом отрезке при достаточно малом d. После проведения аналогичных рассуждений относительно остальных отрезков мы сможем указать малое такое, что на всех отрезках выполняется неравенство . Мы получили противоречие с предположением, что —многочлен наилучшего приближения, . Теорема доказана.

Теорема единственности. Многочлен наилучшего равномерного приближения непрерывной функции единствен.

Доказательство. Предположим, что существуют два многочлена степени наилучшего равномерного приближения:

Отсюда следует, что

т.е. многочлен также является многочленом наилучшего равномерного приближения. Пусть — соответствующие этому многочлену точки чебышевского альтернанса; тогда

или

Так как , то последнее соотношение возможно лишь в том случае, когда

Мы получили, что два различных многочлена и степени совпадают в точках , т.е. пришли к противоречию.

Задача 1. Функция приближается на отрезке . Найти .