§ 3. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода

Задача решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода

относится к классу некорректных задач.

Поясним, что это означает. Пусть ядро вещественно и симметрично, т.е. . Предположим также, что непрерывны. Тогда существует полная ортонормированная система собственных функций оператора :

где — символ Кронекера. При этом

сходимость ряда в правой части понимается в норме:

Из предыдущего соотношения следует, что

и, следовательно, при .

Рассмотрим случай, когда при и все при . Тогда ядро имеет вид

т.е. является вырожденным. В случае вырожденного ядра

Следовательно, задача (1) может иметь решение только в том случае, когда является линейной комбинацией , т.е. записывается в виде

Задача 1. Проверить, что этим решением является

Задача 2. Проверить, что любая функция , представимая в виде

где , также будет решением уравнения (1).

Таким образом, в рассматриваемом случае задача (1) может не иметь решения; в случае, когда она имеет решение, это решение неединственно.

Рассмотрим случай, когда все . Если , то представима сходящимся в норме пространства рядом Фурье

Здесь и далее сходимость рядов понимается в смысле нормы пространства . Положим

Задача 3. Доказать, что при функция является решением уравнения (1).

Задача 4. Доказать, что при задача 1 не имеет решения.

Задача 5. Пусть все . Показать, что задача (1) не может иметь двух различных решений (решения, отличающиеся на множестве меры нуль, считаются совпадающими).

Таким образом, возможна следующая ситуация. Задача (1) может иметь не более одного решения, однако при этом решение существует лишь для множества правых частей, удовлетворяющих условию .

Задача 6. Рассмотреть случай решения уравнения (1) описанным выше методом, когда имеется бесконечное число , отличных от нуля, и бесконечное число , равных нулю.

При изучении многих задач, в частности в задачах интерпретации результатов наблюдений, или, как говорят, в задачах их обработки, часто возникает следующая ситуация. Имеется некоторая функция ; мы наблюдаем не ее, а функцию , причем в значения этой функции вносятся возмущения . Таким образом, задача

имеет решение, но нам реально требуется решать задачу

где норма погрешности измерения мала:

Разность между решениями задач (2) и (1), которую можно записать в виде , является решением интегрального уравнения

Пусть . Условие (3) означает, что .

Рассмотрим сначала случай, когда все . Если ряд расходится, то уравнение (4) не имеет решения. Если даже этот ряд сходится, то нельзя гарантировать, что погрешность будет стремиться к нулю при .

В самом деле, среди всех правых частей имеется правая часть , соответствующая такому , что . Тогда , т.е. .

Для решения рассматриваемой задачи можно применить метод регуляризации по Тихонову. Никто не обязывает нас непосредственно решать задачу (2) с возмущенной правой частью. Можно попытаться заменить эту задачу некоторой «близкой» задачей, решение которой будет «близко» к .

Мы уже изучали некоторые способы регуляризации на примере решения систем линейных уравнений.

При решении интегральных уравнений Фредгольма первого рода в качестве такой близкой к (1) задаче рассмотрим уравнение

параметр иногда называют параметром регуляризации. Теорема. Пусть все ,

Тогда справедливо неравенство

где при , вообще говоря, зависит, от .

Доказательство. Сравним решение уравнения (5) с точным решением задачи (1). Имеем

где и

Подставляя в (5), получим

Таким образом,

Рассмотрим разность

Имеем равенство

Таким образом, погрешность можно представить в виде суммы двух слагаемых :

где

Вследствие ортонормированности системы функций имеем

Поскольку , то и поэтому

Перейдем к оценке . Рассмотрим сначала более простой и относительно часто встречающийся случай, когда дополнительно выполнено условие

Тогда

Из соотношений (6), (7), (9) следует, что

Следовательно, при дополнительном предположении (8) теорема доказана, поскольку

Таким образом, при достаточно малых мы получаем решение задачи с малой погрешностью.

Для получения наилучшей оценки стремления погрешности к нулю найдем . В точке минимума имеем , т.е. . Из (10) получаем, что при

Проведем теперь доказательство теоремы без предположения (8). Представим выражение в виде

где

Справедливы оценки

где , и

Покажем, что при . Для этого достаточно показать, что для любого существует такое, что

Возьмем произвольное . Поскольку ряд сходится, то существует такое, что

Если , то и

Таким образом, имеем

Таким образом, утверждение теоремы справедливо и без предположения (8).

Описанный выше метод регуляризации применим и в случае, когда некоторые из могут обращаться в нуль.

Пусть — множество таких, что — множество . (Каждое из этих множеств может быть как конечным, так и бесконечным; одновременно оба конечными быть не могут.)

Если — решение уравнения (1), то при функция также будет решением уравнения (1). Положим согласно вышесказанному также решением уравнения (1).

Задача 7. Пусть - решение уравнения (1). Показать, что

Решение уравнения (1) с минимальной нормой (в случае неединственного решения) называется нормальным. Из следует, что — нормальное решение задачи.

Теорема. Пусть - решение уравнения (1). Тогда справедливо неравенство , где при .

Доказательство несущественным образом отличается от проведенного выше в случае, когда все . Решение задачи (1) записывается в виде

где

Погрешность запишется в виде

где

Оценка для слагаемого имеет вид

Оценка для производится так же, как и в случае доказанной ранее теоремы.

Метод регуляризации применяется для решения самых разнообразных задач, в частности нелинейных.

Рассмотрим случай, когда ядро несимметрично. Определим оператор соотношением

Обозначим через решение уравнения

Выберем параметр из условия

Справедлива

Теорема (без доказательства). Пусть уравнение (1) разрешимо и - нормальное региение уравнения (1), т. е. решение с минилюлъной нормой. Тогда при .

Литература

1. Березии И. С. Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. 2. — М.: Физматгиз, 1962.

2. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Начала теории вычислительных методов. Интегральные уравнения, некорректные задачи и улучшение сходимости. — Минск: Наука и техника, 1984.

3. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. -М.: Наука, 1987.

4. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. — М.: Наука, 1984.

5. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1986.

6. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач —М.: Изд-во МГУ, 1994.