3.2.3. ФОРМАЛИЗОВАННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБЪЕКТА

Любой пространственный объект, образованный путем комбинации примитивов можно описать структурой [9,125], корнем которой является сам объект, вершинами – примитивы, а в узлах ветвей определены операции пространственных комбинаций. Например, на рис.3.2.9 показаны объекты  и , описание структуры которых представляются в виде

; ,                    (3.2.2)

где операция  – взятия дополнения означает, что подразумевают объект, занимающий все трехмерное пространство за исключением точек, принадлежащих поверхности и внутренней области примитива . Взятые дополнения еще обозначают  и результат операции называют отрицанием примитива. Ранее введенное правило вычитания примитивов  сводится к следующему: .

Рис. 3.2.9. Объекты (а), графическое изображение их математических моделей (б) и слагающие примитивы (в)

Множество примитивов , все трехмерное пространство I и пространство нулевого объема  (пустое пространство) образуют булеву алгебру [23]. Путем пространственного сложения (+), умножения (&), взятия дополнения (-) может быть сконструирован любой комбинационный объект из исходного состава примитивов. При этих операциях справедливы следующие свойства булевой алгебры [23]:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8.  в том и только в том случае, если ;

9. , ;

10. , ;

11. , ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. , , ;

16. ;

17. .

В соответствии с законом де Моргана (свойства 13 и 14) булево выражение, описывающее объект, можно представить в виде суммы (объединения) произведений (пересечений) примитивов или их отрицаний:

,                  (3.2.3)

где  – число примитивов, входящих в состав объекта, ;  это  или ;  – номер текущего произведения, .

Форма (3.2.3) называется каноническим видом булевого описания объекта. Формализованное описание объекта в виде правила комбинирования примитивов совместно с информацией о типе каждого примитива, коэффициентов функций поверхностей каждого примитива и оптических характеристик поверхностей составляет полное представление объекта.

В качестве иллюстрации изложенных принципов моделирования объекта приведем изображения церкви (рис.3.2.10) и технологических установок ТЭС (рис.3.2.11). Первый объект составлен из эллипсоидов, цилиндров, параллелепипеда и примитивов с поверхностью бикубического описания. Второй объект составлен из усеченных конусов. В обоих случаях применялись операции пространственного сложения и вычитания примитивов.

Рис. 3.2.10. Церковь

Рис. 3.2.11. Градирни ТЭС