§ 16. Резонансные явления при действии негармонической периодической силы

В опытах, описанных в §§ 12—14, периодическое воздействие создавали тела, совершающие гармоническое колебание (движение нити в механизме, изображенном на рис. 25, массивный маятник). В соответствии с этим действующая сила тоже менялась по закону гармонического колебания. К этому случаю и относится сделанное нами наблюдение, что сильная раскачка получается только при совпадении периода силы с собственным периодом системы.

Получится ли то же самое, если сила действует периодически, но не по закону гармонического колебания, а как-либо иначе?

Мы можем, например, периодически ударять маятник, т. е. действовать короткими повторяющимися толчками. Опыт показывает, что в этом случае резонансные явления будут наступать уже не только при одном-единственном периоде силы. По-прежнему мы будем наблюдать большую раскачку, ударяя маятник один раз за период его свободных колебаний. Но сильная раскачка получится и в том случае, если ударять маятник вдвое реже — пропуская одно качание, или втрое реже — пропуская два качания, и т.д.

Таким образом, из описанного опыта видно, что если сила меняется периодически, но не по гармоническому закону, то она может вызвать резонансные явления не только при совпадении ее периода с периодом свободных колебаний системы, но и тогда, когда период силы в целое число раз длиннее этого  периода.

К такому же заключению приводит и следующая постановка опыта: вместо одной колебательной системы (маятника), на которую мы действуем поочередно силами разного периода, можно взять набор однотипных систем с различными собственными частотами и действовать на все эти системы одновременно одной и той же периодической силой. Чтобы резонансные явления были острыми, системы должны обладать достаточно малым затуханием. Воспользуемся снова набором маятников, но не таким, как на рис. 26. Там длины наибольшего и наименьшего маятников отличались лишь в два раза, т. е. собственные частоты отличались лишь в раза. Теперь мы возьмем маятники, собственные частоты которых лежат в более широком диапазоне и среди которых имеются, в частности, маятники с кратными частотами. Пусть, например, собственные частоты составляют  и . Соответствующие длины маятников будут равны приблизительно  и . Этот набор показан на рис. 29. Разумеется, и здесь мы можем убедиться, что при действии гармонической силы большую амплитуду приобретает только тот маятник, который настроен в резонанс на частоту силы.

Рис. 29. Набор маятников, частоты которых указаны на рисунке

Гармоническую силу можно создать прежним способом, подвесив к общей рейке массивный маятник и сделав его равным по длине какому-либо из маятников нашего набора. Опыт хорошо удается и в том случае, если просто покачивать всю стойку рукой, сообщая ей гармонические колебания в такт с колебаниями одного из маятников.

Именно этот маятник и будет раскачиваться  с большой амплитудой, остальные же останутся практически в покое.

Картина получится совсем иная, если вместо гармонического покачивания стойки сообщать ей резкие периодические толчки, т. е. действовать на все маятники с периодической, но уже негармонической силой. Толкая стойку с периодом самого длинного маятника — один раз в , мы увидим, что раскачивается не только этот маятник, как и другие, однако не все, а лишь те, собственные частоты которых в целое число раз больше, чем частота самого длинного маятника (). Иными словами, кроме маятника с частотой , сильно раскачаются маятники с частотами  и , остальные же останутся почти в покое. Сопоставляя этот результат с предыдущим, когда гармоническая сила раскачивала только один маятник, мы приходим к такому заключению.

Негармоническое периодическое воздействие с периодом  равносильно одновременному действию гармонических сил с разными частотами, а именно, с частотами, кратными наиболее низкой  частоте .

Это заключение, касающееся периодической силы, является лишь частным случаем общей математической теоремы, которую доказал в 1822 г, французский математик Жан Батист Фурье {1768—1830). Теорема Фурье гласит; всякое периодическое колебание периода  может быть представлено в виде суммы гармонических колебаний с периодами, равными и т. д., т. е. с частотами  и т. д.

Наиболее низкая частота  называется основной частотой. Колебание с основной частотой  называется первой гармоникой или основным тоном, а колебания с частотами  и т. д. называются высшими гармониками (второй, третьей, четвертой) или обертонами (первым — , вторым —  и т. д.).

Теорема Фурье — это математическая теорема совершенно общего характера, позволяющая любую периодическую величину (перемещение, скорость, силу и т. п.) представить в виде суммы величин (перемещений, скоростей, сил и т. п.), меняющихся по синусоидальному закону.

Применительно к рассматриваемой нами задаче о действии негармонической периодической силы эта теорема сразу же объясняет, почему можно раскачать маятник не только толчками, следующими друг за другом с периодом, равным периоду маятника, по вдвое реже, втрое реже и т. д.

Пусть собственная частота маятника равна . Толкая его один раз в секунду, мы создаем периодическую силу, состоящую из следующих гармонических колебаний: основного с частотой  и обертонов с частотами  и т. д. Таким образом, в этом случае в резонанс с собственной частотой маятника попадает основное гармоническое колебание силы. Если толкать маятник через раз, т. е. один раз в , то сила будет состоять из основного колебания с частотой  и гармоник с частотами  и т. д.

Следовательно, в этом случае маятник раскачивается потому, что в резонанс действует первый оберток силы. При толчках, повторяющихся через каждые , с собственной частотой маятника совпадает второй обертон силы, и т. д.

Итак, периодическая негармоническая сила сильно раскачивает колебательную систему тогда, когда в резонанс с собственной частотой системы попадает какое-либо из гармонических колебаний, входящих в состав силы.

Описанный в § 15 язычковый частотомер может быть использован подобно набору однотипных маятников, упоминавшихся в начале этого параграфа, для гармонического анализа негармонической силы.

Как мы видели, под действием гармонической силы определенной частоты раскачивается один из язычков частотомера; при всяком же негармоническом воздействии (например, прерывистый ток) будет колебаться не один язычок, а несколько, именно те, которые попадают в резонанс с гармониками, входящими в состав тока. Раскачка каждого язычка будет при этом прямо пропорциональна амплитуде той гармонической слагающем тока, на которую этот язычок резонирует. Частотомером можно воспользоваться и для определения гармонического состава механических колебаний, например колебании фундамента машины. Для этого достаточно поставить прибор на колеблющийся фундамент.